设定圆,动圆过点且与圆相切,记动圆圆心的轨迹为.(1)求轨迹的方程;(2)已知,过定点的动直线交轨迹于、两点,的外心为.若直线的斜率为,直线的斜率为,求证:为定

设定圆,动圆过点且与圆相切,记动圆圆心的轨迹为.(1)求轨迹的方程;(2)已知,过定点的动直线交轨迹于、两点,的外心为.若直线的斜率为,直线的斜率为,求证:为定

题型:不详难度:来源:
设定圆,动圆过点且与圆相切,记动圆圆心的轨迹为.
(1)求轨迹的方程;
(2)已知,过定点的动直线交轨迹两点,的外心为.若直线的斜率为,直线的斜率为,求证:为定值.
答案
(1);(2)见解析
解析

试题分析:(1)求轨迹的方程,由题意定圆,动圆过点且与圆相切,可知点在圆内,由此可得圆内切于圆,可得,根据椭圆定义可知轨迹为椭圆,故可求出轨迹的方程;(2)求证:为定值,由题意直线斜率不为0,可设直线, 设点,由,由根与系数关系得,写出直线的中垂线方程,与直线的中垂线方程,求出点的坐标,即得直线的斜率,从而可得为定值.
试题解析:(1)∵点在圆内 ∴圆内切于圆

∴点的轨迹.的方程为                              5分
(2)由存在 ∴ 直线斜率不为0

设直线      设点 


直线的中垂线方程为:
  ∵ ∴即
 即
同理可得直线的中垂线方程为:                  7分
∴点的坐标满足

   9分

又∵直线的斜率为 ∴               13分
举一反三
已知是椭圆的两个焦点,为坐标原点,点在椭圆上,且,⊙是以为直径的圆,直线与⊙相切,并且与椭圆交于不同的两点

(1)求椭圆的标准方程;
(2)当,且满足时,求弦长的取值范围.
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曲线的焦距为4,那么的值为(   )
A.B.C.D.

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已知椭圆和双曲线有相同的焦点,点为椭圆和双曲线的一个交点,则的值为(     )
A.16B.25C.9D.不为定值

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椭圆的左,右焦点分别为,焦距为,若直线与椭圆的一个交点满足,则该椭圆的离心率为              .
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已知是椭圆的半焦距,则的取值范围为              .
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