解:(1)因为焦距为4, 所以a2-b2=4. 又因为椭圆C过点P( , ), 所以 + =1, 故a2=8,b2=4, 从而椭圆C的方程为 + =1. (2)一定有唯一的公共点. 由题意,E点坐标为(x0,0). 设D(xD,0),则 =(x0,-2 ), =(xD,-2 ). 再由AD⊥AE知, · =0, 即xDx0+8=0. 由于x0y0≠0,故xD=- . 因为点G是点D关于y轴的对称点,所以点G( ,0). 故直线QG的斜率kQG= = . 又因Q(x0,y0)在椭圆C上, 所以 +2 =8.① 从而kQG=- . 故直线QG的方程为 y=- (x- ).② 将②代入椭圆C方程,得 ( +2 )x2-16x0x+64-16 =0.③ 再将①代入③,化简得 x2-2x0x+ =0. 解得x=x0,y=y0, 即直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点. |