已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0),离心率为.直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M,N.(1)求椭圆C的方程;(2)当

题型：不详难度：来源：

已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0),离心率为.直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M,N.
(1)求椭圆C的方程;
(2)当△AMN的面积为时,求k的值.

答案

(1) +=1   (2) k=±1

解析

解:(1)由题设知,椭圆焦点在x轴上,
∴a=2.
由e==得c=,
∴b²=a²-c²=2.
∴椭圆C的方程为+=1.
(2)由消去y,
整理得(1+2k²)x²-4k²x+2k²-4=0.
设M(x₁,y₁),N(x₂,y₂).
则Δ=(-4k²)²-4(1+2k²)(2k²-4)>0(※)
且x₁+x₂=,x₁·x₂=,
∴|MN|=
=
=
=
=
设点A(2,0)到直线y=k(x-1)的距离为d,
则d=.
∴S_△AMN=|MN|·d==,
解得k=±1,
代入(※)式成立,∴k=±1.