已知椭圆过点,且离心率.(1)求椭圆的标准方程;(2)若直线与椭圆相交于,两点(不是左右顶点),椭圆的右顶点为,且满足,试判断直线是否过定点,若过定点,求出该定

已知椭圆过点,且离心率.(1)求椭圆的标准方程;(2)若直线与椭圆相交于,两点(不是左右顶点),椭圆的右顶点为,且满足,试判断直线是否过定点,若过定点,求出该定

题型:不详难度:来源:
已知椭圆过点,且离心率.

(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线与椭圆相交于两点(不是左右顶点),椭圆的右顶点为,且满足,试判断直线是否过定点,若过定点,求出该定点的坐标;若不过定点,请说明理由.
答案
(1);(2).
解析

试题分析:(1)本小题通过待定系数法列出两个关于的方程,通过解方程组求出椭圆的方程,包含着二次方的运算需掌握;(2)本小题是直线与椭圆的位置关系的问题,这类题目的常用思路就是联立直线方程和椭圆方程通过消元得到一个一元二次方程,确定判别式的情况,正确书写、利用韦达定理,由两点(不是左右顶点),椭圆的右顶点为,且满足,根据向量的数量积为零,可得到关于两个根的等式,再利用韦达定理可得关于的等式,从而就可得出相应的结论.
试题解析:(1)
    
∴椭圆方程为              4分
又点在椭圆上,解得
∴椭圆的方程为              6分
(2)设,由

                  8分


所以,又椭圆的右顶点


,解得                    10分
,且满足
时,,直线过定点与已知矛盾          12分
时,,直线过定点
综上可知,当时,直线过定点,定点坐标为              14分.
举一反三
已知双曲线与椭圆有相同的焦点,且双曲线的渐近线方程为,则双曲线的方程为          
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过椭圆Γ=1(ab>0)右焦点F2的直线交椭圆于AB两点,F1为其左焦点,已知△AF1B的周长为8,椭圆的离心率为.
(1)求椭圆Γ的方程;
(2)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆Γ恒有两个交点PQ,且?若存在,求出该圆的方程;若不存在,请说明理由.
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已知双曲线=1和椭圆=1(a>0,mb>0)的离心率互为倒数,那么以abm为边长的三角形是(  )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.锐角或钝角三角形

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已知椭圆E=1(ab>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交EAB两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为(  )
A.=1 B.=1 C.=1 D.=1

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在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C的中心在原点O,焦点在x轴上,短轴长为2,离心率为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)AB为椭圆C上满足△AOB的面积为的任意两点,E为线段AB的中点,射线OE交椭圆C于点P.设t,求实数t的值.
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