(1)因为e==,b=1,解得a=2,所以椭圆C的标准方程为+y2=1.(2分)
设椭圆上点P(x0,y0),有+=1, 所以k1·k2=.(4分) (2)因为M,N在直线l:y=-2上,设M(x1,-2),N(x2,-2), 由方程知+y2=1知,A(0,1),B(0,-1), 所以KBM·kAN=,(6分) 又由(1)知kAN·kBM=k1·k2=-,所以x1x2=-12,(8分) 不妨设x1<0,则x2>0,则 MN=|x1-x2|=x2-x1=x2+≥2=4, 所以当且仅当x2=-x1=2时,MN取得最小值4.(10分) (3)设M(x1,-2),N(x2,-2), 则以MN为直径的圆的方程为 (x-x1)(x-x2)+(y+2)2=0,(12分) 即x2+(y+2)2-12-(x1+x2)x=0,若圆过定点, 则有x=0,x2+(y+2)2-12=0,解得x=0,y=-2±2, 所以,无论点P如何变化,以MN为直径的圆恒过定点(0,-2±2).(16分) |