已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)上任一点P到两个焦点的距离的和为2，P与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为－.设直线l过椭圆C的右焦点F，交椭圆C于两点A(x1，y1

题型：不详难度：来源：

已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)上任一点P到两个焦点的距离的和为2，P与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为－.设直线l过椭圆C的右焦点F，交椭圆C于两点A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．
(1)若＝ (O为坐标原点)，求|y₁－y₂|的值；
(2)当直线l与两坐标轴都不垂直时，在x轴上是否总存在点Q，使得直线QA，QB的倾斜角互为补角？若存在，求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．

答案

（1）4（2）存在Q(3,0)

解析

(1)由椭圆的定义知a＝，设P(x，y)，
则有，则＝－，
又点P在椭圆上，则＝－，
∴b²＝2，
∴椭圆C的方程是＝1.(3分)
∵＝，
∴|cos∠AOB＝，
∴|sin∠AOB＝4，
∴S_△AOB＝|sin∠AOB＝2，
又S_△AOB＝|y₁－y₂|×1，故|y₁－y₂|＝4.(7分)
(2)假设存在一点Q(m,0)，使得直线QA，QB的倾斜角互为补角，
依题意可知直线l斜率存在且不为零，
直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，
由消去y得(3k²＋2)x²－6k²x＋3k²－6＝0，(9分)
设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则x₁＋x₂＝，x₁·x₂＝.
∵直线QA，QB的倾斜角互为补角，
∴k_QA＋k_QB＝0，即＝0，(13分)
又y₁＝k(x₁－1)，y₂＝k(x₂－1)，
代入上式可得2x₁x₂＋2m－(m＋1)(x₁＋x₂)＝0，
∴2×＋2m－(m＋1)×＝0，即2m－6＝0，∴m＝3，
∴存在Q(3,0)使得直线QA，QB的倾斜角互为补角．(16分)