设椭圆C∶＝1(a＞b＞0)恒过定点A(1,2)，则椭圆的中心到准线的距离的最小值________．

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设椭圆C∶

＝1(a＞b＞0)恒过定点A(1,2)，则椭圆的中心到准线的距离的最小值________．

答案

2＋

解析

由题设知

＝1，∴b²＝

，∴椭圆的中心到准线的距离d＝

，
由d²＝

＝

，
令a²－5＝t(t＞0)得d²＝

＝t＋

＋9≥9＋4

(当且仅当t＝2

时取等号)
∴d≥2＋

即椭圆的中心到准线的距离的最小值2＋

举一反三

在平面直角坐标系xOy中，已知对于任意实数k，直线(

k＋1)x＋(k－

)y－(3k＋

)＝0恒过定点F.设椭圆C的中心在原点，一个焦点为F，且椭圆C上的点到F的最大距离为2＋

.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设(m，n)是椭圆C上的任意一点，圆O：x²＋y²＝r²(r＞0)与椭圆C有4个相异公共点，试分别判断圆O与直线l₁：mx＋ny＝1和l₂：mx＋ny＝4的位置关系．

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已知椭圆C的中心为平面直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的一点，

＝λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

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设F₁是椭圆

＋y²＝1的左焦点，O为坐标原点，点P在椭圆上，则

的最大值为________．

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如图，在平面直角坐标系xOy中，F₁，F₂分别为椭圆

＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，B，C分别为椭圆的上、下顶点，直线BF₂与椭圆的另一个交点为D，若cos∠F₁BF₂＝

，则直线CD的斜率为________．

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在平面直角坐标系xOy中，以椭圆

＝1(a＞b＞0)上的一点A为圆心的圆与x轴相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B、C两点，若△ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是________．

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