已知双曲线C与椭圆＝1有共同的焦点F1，F2，且离心率互为倒数．若双曲线右支上一点P到右焦点F2的距离为4，则PF2的中点M到坐标原点O的距离等于_______

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已知双曲线C与椭圆＝1有共同的焦点F₁，F₂，且离心率互为倒数．若双曲线右支上一点P到右焦点F₂的距离为4，则PF₂的中点M到坐标原点O的距离等于________．

答案

3

解析

由椭圆的标准方程，可得椭圆的半焦距c＝＝2，故椭圆的离心率e₁＝＝，则双曲线的离心率e₂＝＝2.因为椭圆和双曲线有共同的焦点，所以双曲线的半焦距也为c＝2.设双曲线C的方程为＝1(a>0，b>0)，则有a＝＝＝1，b₂＝＝＝，所以双曲线的标准方程为x²－＝1.因为点P在双曲线的右支上，则由双曲线的定义，可得|PF₁|－|PF₂|＝2a＝2，又|PF₂|＝4，所以|PF₁|＝6.因为坐标原点O为F₁F₂的中点，M为PF₂的中点．
所以|MO|＝|PF₁|＝3.