椭圆: 的左、右焦点分别是,离心率为,过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为。(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)点是椭圆上除长轴端点外的任一点,连接,设的角平分线交的长
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椭圆: 的左、右焦点分别是,离心率为,过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为。(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)点是椭圆上除长轴端点外的任一点,连接,设的角平分线交的长
题型:不详
难度:
来源:
椭圆
:
的左、右焦点分别是
,离心率为
,过
且垂直于
轴的直线被椭圆
截得的线段长为
。
(Ⅰ)求椭圆
的方程;
(Ⅱ)点
是椭圆
上除长轴端点外的任一点,连接
,设
的角平分线
交
的长轴于点
,求
的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过点
作斜率为
的直线
,使
与椭圆
有且只有一个公共点,设直线的
斜率分别为
。若
,试证明
为定值,并求出这个定值。
答案
(Ⅰ)
(Ⅱ)
(Ⅲ)
解析
(Ⅰ)设
,过
且垂直于
轴的直线与椭圆相交,则其中的一个交点坐标为
,由题意可得
解得
,
所以椭圆
的方程为
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
则
由椭圆定义得
因为
平分
,
所以
所以
,
另解:由题意可知:
=
,
=
,
设
其中
,将向量坐标代入并化简得
,因为
,
所以
,而
,所以
.
(Ⅲ)因为
与椭圆
有且只有一个公共点,则点
为切点,设
.
设
与
联立得
,
由
得
,
所以
另解:由题意可知,
为椭圆的在
点处的切线,由导数法可求得,切线方程
,
所以
,而
,代入
中得
为定值.
【考点定位】本题通过椭圆的离心率、焦点、弦长、定义等基本知识来考查运算能力、推理论证能力。第一问较为简单,通过
三者的固有关系确定椭圆方程为
.第二问处理方式很多,可利用角平分线性质定理寻找线段间的比例关系、可利用点
到直线
的距离相等来确定
的取值范围,但要注意直线斜率不存在的情形的说明.第三问中的直线
的方程设法很多,也是决定运算量大小的关键,如果设为
,则会出现
,其运算强度较大,而设为
可通过
得到关系式
,大大简化了运算.
举一反三
在平面直角坐标系
中,已知椭圆
的中心在原点
,焦点在
轴上,短轴长为
,离心率为
.
(I)求椭圆
的方程;
(II)
为椭圆
上满足
的面积为
的任意两点,
为线段
的中点,射线
交椭圆
与点
,设
,求实数
的值.
题型:不详
难度:
|
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设AB是椭圆
的长轴,点C在
上,且
,若AB=4,
,则
的两个焦点之间的距离为________
题型:不详
难度:
|
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设椭圆
的左焦点为F, 离心率为
, 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为
.
(Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ) 设A, B分别为椭圆的左右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点. 若
, 求k的值.
题型:不详
难度:
|
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如图,设椭圆
的左右焦点分别为
,过焦点
的直线交椭圆于
两点,若
的内切圆的面积为
,设
两点的坐标分别为
,则
值为
.
题型:不详
难度:
|
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如图,已知椭圆
,
是长轴的左、右端点,动点
满足
,联结
,交椭圆于点
.
(1)当
,
时,设
,求
的值;
(2)若
为常数,探究
满足的条件?并说明理由;
(3)直接写出
为常数的一个不同于(2)结论类型的几何条件.
题型:不详
难度:
|
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