在中，，动点P的轨迹为曲线E，曲线E过点C且满足|PA|+|PB|为常数。（1）求曲线E的方程；（2）是否存在直线L，使L与曲线E交于不同的两点M、N，且线段M

题型：不详难度：来源：

在中，，动点P的轨迹为曲线E，曲线E过点C且满足|PA|+|PB|为常数。
（1）求曲线E的方程；
（2）是否存在直线L，使L与曲线E交于不同的两点M、N，且线段MN恰被直线平分？若存在，求出L的斜率的取值范围；若不存在说明理由。

答案

（1）略（2）

解析

本试题主要是考查了椭圆方程求解以及直线与椭圆的位置关系的综合运用。
（1）根据已知条件，易知，又因为，所以，
所以，
由|PA|+|PB|的值为常数知动点P的轨迹为焦点在y轴上的椭圆
（2）联立方程组，结合韦达定理，表示得到参数k的等式，进而求解其范围。
解：（1）易知，又因为，所以，
所以，
由|PA|+|PB|的值为常数知动点P的轨迹为焦点在y轴上的椭圆 ------4分
其中  ------6分
（2）假设L存在，因为L与直线相交，所以直线L有斜率，
设L的方程为   ----------------7分
由得 （*） ------9分
因为直线L与椭圆有两个交点
所以（*）的判别式 ① -----10分
设，则    -------------11分
因为MN被直线平分
所以 ②  ----------12分
把②代入①得
因为 所以  ---------------13分 
所以所以或
即直线L的斜率取值范围是   ------------14分