(本小题满分12分)如图椭圆的右顶点是,上下两个顶点分别为,四边形是矩形(为原点),点分别为线段的中点.(Ⅰ)证明:直线与直线的交点在椭圆上;(Ⅱ)若过点的直线
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(本小题满分12分)如图椭圆的右顶点是,上下两个顶点分别为,四边形是矩形(为原点),点分别为线段的中点.(Ⅰ)证明:直线与直线的交点在椭圆上;(Ⅱ)若过点的直线
题型:不详
难度:
来源:
(本小题满分12分)
如图椭圆
的右顶点是
,上下两个顶点分别为
,四边形
是矩形(
为原点),点
分别为线段
的中点.
(Ⅰ)证明:直线
与直线
的交点在椭圆
上;
(Ⅱ)若过点
的直线交椭圆于
两点,
为
关于
轴的对称点(
不共线),
问:直线
是否经过
轴上一定点,如果是,求这个定点的坐标,如果不是,说明理由.
答案
(Ⅰ)见解析;
(Ⅱ)直线
经过
轴上的点
解析
(1)易求A、B、D、E、M的坐标,然后求出DE、BM的方程,两直线方程联立解方程组可求出其交点.再验证交点坐标满足椭圆方程,从而证明交点在椭圆上.
(2)先设出RS的方程,与椭圆方程联立,消y后得关于x的一元二次方程,设出交点R、S的坐标,表示出SK的方程,令y=0得到它与x轴的交点的模坐标
,然后再借助直线RS的方程和韦达定理,证明x的值是常数即可.
解:(1)由题意,得
,
所以直线
的方程
,直线
的方程为
,------2分
由
,得
,
所以直线
与直线
的交点坐标为
,---------------4分
因为
,所以点
在椭圆
上.---------6分
(2)设
的方程为
,代入
,
得
,
设
,则
,
,
直线
的方程为
,
令
得
,
将
,
代入上式得,设
,
所以直线
经过
轴上的点
.---------12分
举一反三
若
在椭圆
(
>0,
>0)外 ,则过
作椭圆的两条切线的切点为P
1
、P
2
,切点弦P
1
P
2
的直线方程是
,那么类比双曲线则有如下命题: 若
在双曲线
(
>0,
>0)外 ,则过
作双曲线的两条切线的切点为P
1
、P
2
,切点弦P
1
P
2
的直线方程是
题型:不详
难度:
|
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设
是把坐标平面上的点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标伸长为原来的3倍的伸压变换,则圆
在
的作用下的新曲线的方程是
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
:
的离心率为
,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设
,
、
是椭圆
上关于
轴对称的任意两个不同的点,连结
交椭圆
于另一点
,求直线
的斜率的取值范围;
(3)在(2)的条件下,证明直线
与
轴相交于定点.
题型:不详
难度:
|
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若椭圆C:
上有一动点P,P到椭圆C的两焦点 F
1
,F
2
的距离之和等于2
,△PF
1
F
2
的面积最大值为1
(I)求椭圆的方程
(II)若过点M(2,0)的直线l与椭圆C交于不同两点A、B,
(O为坐标原点)且
| ,求实数t的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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(本题满分14分
已知椭圆
:
的离心率为
,以原点为圆心,
椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切.
⑴求椭圆C的方程;
⑵设
,
、
是椭圆
上关于
轴对称的任意两个不同的点,连结
交椭圆
于另一点
,求直线
的斜率的取值范围;
⑶在⑵的条件下,证明直线
与
轴相交于定点.
题型:不详
难度:
|
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