如图,已知、、是长轴长为的椭圆上的三点,点是长轴的一个顶点, 过椭圆中心,且,,(1)求椭圆的方程;   (2)如果椭圆上两点、使的平分线垂直,则是否存在实数使

如图,已知、、是长轴长为的椭圆上的三点,点是长轴的一个顶点, 过椭圆中心,且,,(1)求椭圆的方程;   (2)如果椭圆上两点、使的平分线垂直,则是否存在实数使

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如图,已知是长轴长为的椭圆上的三点,点是长轴的一个顶点, 过椭圆中心,且
(1)求椭圆的方程;   
(2)如果椭圆上两点使的平分线垂直,则是否存在实数使?请说明理由。
答案
(1)以O为原点,OA所在的直线为x轴建立如图所示的直角坐标系

A(2,0),设所求椭圆的方程为: =1(0<b<2),
由椭圆的对称性知|OC|=|OB|,由·=0得ACBC
∵|BC|=2|AC|,∴|OC|=|AC|,
∴△AOC是等腰直角三角形,∴C的坐标为(1,1),∵C点在椭圆上
=1,∴b2=,所求的椭圆方程为=1             ……………5分
(2)由于∠PCQ的平分线垂直OA(即垂直于x轴),不妨设直线PC的斜率为k,则直线QC的斜率为-k,直线PC的方程为:y=k(x-1)+1,直线QC的方程为y=-k(x-1)+1,
 得:(1+3k2)x2-6k(k-1)x+3k2-6k-1=0(*)   ……………8分
∵点C(1,1)在椭圆上,∴x=1是方程(*)的一个根,则其另一根为,设PxP,yP),Q(xQ,yQ),xP=,  同理xQ=,
kPQ=…10分
而由对称性知B(-1,-1),又A(2,0)      ∴kAB= 
kPQ=kAB,∴共线,且≠0,即存在实数λ,使.
解析
(Ⅰ)根据椭圆的标准方程可知应以O为原点,OA所在的直线为x轴建立直角坐标系,然后由条件可知△ABC是直角三角形,进可确定△AOC是等腰直角三角形,这样易得C(1,1),代入椭圆标准方程问题可解.(2)涉及直线与椭圆的位置关系,然后两方程联立,利用韦达定理,解决交点坐标的问题,然后再借助向量共线的条件进行证明即可.
举一反三
已知A、B为椭圆的左、右顶点,C(0,b),直线与X轴交于点D,与直线AC交于点P,且BP平分,则此椭圆的离心率为
A、  
B、  
C、  
D、
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A为椭圆=1上任意一点,B为圆(x-1)2+y2=1上任意一点,则|AB|的最大值为________      最小值为 ________ 
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,(其中)的离心率分别为,则(   ).
A.B.
C.D.大小不确定

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是椭圆的不垂直于对称轴的弦,的中点,为坐标原点,则____________
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如图,直角梯形ABMN中,∠NAB=90°,AN∥BM,AB=2,AN=,BM=,椭圆C以A,B为焦点且过点N.

(1)建立适当的坐标系,求椭圆C方程;
(2)若点E满足,问是否存在不平行AB的直线L与椭圆C交于P,Q两点,且|PE|=|QE|,若存在,求出直线L与AB夹角的范围;若不存在,说明理由?
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