在椭圆中,为椭圆上的一点,过坐标原点的直线交椭圆于两点,其中在第一象限,过作轴的垂线,垂足为,连接,(1)若直线与的斜率均存在,问它们的斜率之积是否为定值,若是

在椭圆中,为椭圆上的一点,过坐标原点的直线交椭圆于两点,其中在第一象限,过作轴的垂线,垂足为,连接,(1)若直线与的斜率均存在,问它们的斜率之积是否为定值,若是

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在椭圆中,为椭圆上的一点,过坐标原点的直线交椭圆于两点,其中在第一象限,过轴的垂线,垂足为,连接,
(1)若直线的斜率均存在,问它们的斜率之积是否为定值,若是,求出这个定值,若不是,说明理由;
(2)若的延长线与椭圆的交点,求证:.
答案
解:(1)设
两式相减得,
……4分
(2)设的方程为代入,解得.
,则,于是.
故直线的斜率为其方程为
代入椭圆方程得
解得,因此得
于是直线的斜率为,因此
所以……10分.
解析

举一反三
已知椭圆的离心率,则的值为
A.B.C.D.

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设椭圆的右焦点为,直线 轴交于点,若(其中为坐标原点).
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设是椭圆上的任意一点,为圆的任意一条直径(,为直径的两个端点),求的最大值.
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已知椭圆的标准方程为,若椭圆的焦距为,则的取值集合为            
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(本题满分15分)如图,点为圆形纸片内不同于圆心的定点,动点在圆周上,将纸片折起,使点与点重合,设折痕交线段于点.现将圆形纸片放在平面直角坐标系中,设圆,记点的轨迹为曲线.
⑴证明曲线是椭圆,并写出当时该椭圆的标准方程;
⑵设直线过点和椭圆的上顶点,点关于直线的对称点为点,若椭圆的离心率,求点的纵坐标的取值范围.

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已知椭圆的焦点为,点在椭圆上的一点,且的等差中项,则该椭圆的方程为(    )
A.B.C.D.

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