已知为坐标原点,为椭圆:在轴正半轴上的焦点,过且斜率为的直线与交与、两点,点满足.(1)证明:点在上;(2)设点关于点的对称点为,证明:、、、四点在同一圆上.
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已知为坐标原点,为椭圆:在轴正半轴上的焦点,过且斜率为的直线与交与、两点,点满足.(1)证明:点在上;(2)设点关于点的对称点为,证明:、、、四点在同一圆上.
题型:不详
难度:
来源:
已知
为坐标原点,
为椭圆
:
在
轴正半轴上的焦点,过
且斜率为
的直线
与
交与
、
两点,点
满足
.
(1)证明:点
在
上;
(2)设点
关于点
的对称点为
,证明:
、
、
、
四点在同一圆上.
答案
(1)见解析 (2)见解析
解析
(1)
,
的方程为
,代入
并化简得
. 2分
设
,
则
由题意得
所以点
的坐标为
.
经验证点
的坐标
满足方程
,故点
在椭圆
上 …6分
(2)由
和题设知,
,
的垂直平分线
的方程为
. ①
设
的中点为
,则
,
的垂直平分线
的方程为
. ②
由①、②得
、
的交点为
. 9分
,
,
,
,
,
故
,
又
,
,
所以
,
由此知
、
、
、
四点在以
为圆心,
为半径的圆上. 2分
(2)法二:
同理
所以
互补,
因此A、P、B、Q四点在同一圆上。
举一反三
若AB是过二次曲线中心的任一条弦,M是二次曲线上异于A、B的任一点,且AM、BM均与坐标轴不平行,则
对于椭圆
有
。类似地,对于双曲线
有
=
。
题型:不详
难度:
|
查看答案
(本小题14分).已知椭圆
离心率
,焦点到椭圆上
的点的最短距离为
。
(1)求椭圆的标准方程。
(2)设直线
与椭圆交与M,N两点,当
时,求直线
的方程。
题型:不详
难度:
|
查看答案
(本小题满分12分
)
已知定点
,B是圆
(C为圆心)上的动点,AB的垂直平分线与BC交于点E。
(1)求动点E的轨迹方程;
(2)设直线
与E的轨迹交于P,Q两点,且以PQ为对角线的菱形的一顶点为(-1,0),求:
OPQ面积的最大值及此时直线
的方程。
题型:不详
难度:
|
查看答案
(本小题满分12分)已知椭圆
经过点
,一个焦点是
.
(Ⅰ)求椭圆
的方程;
(Ⅱ)设椭圆
与
轴的两个交点为
、
,点
在直线
上,直线
、
分别与椭圆
交于
、
两点.试问:当点
在直线
上运动时,直线
是否恒经过定点
?证明你的结论.
题型:不详
难度:
|
查看答案
(本小题满分12分)
已知椭圆
经过点
,一个焦点是
.
(I)求椭圆
的方程;
(II)设椭圆
与
轴的两个交点为
、
,不在
轴上的动点
在直线
上运动,直线
、
分别与椭圆
交于点
、
,证明:直线
经过焦点
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
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