已知椭圆的上、下顶点分别为是椭圆上两个不同的动点. (I)求直线与交点的轨迹C的方程; (Ⅱ)若过点F(0,2)的动直线z与曲线C交于A、B两点,问在y轴上是否
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已知椭圆的上、下顶点分别为是椭圆上两个不同的动点. (I)求直线与交点的轨迹C的方程; (Ⅱ)若过点F(0,2)的动直线z与曲线C交于A、B两点,问在y轴上是否
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆
的上、下顶点分别为
是椭圆上两个不同的动点.
(I)求直线
与
交点的轨迹C的方程;
(Ⅱ)若过点F(0,2)的动直线z与曲线C交于A、B两点,
问在y轴上是否存在定点E,使得
?若存在,求出E点的坐标;若不存在,说明理由.
答案
解:(Ⅰ)方法一:设直线
与
的交点为
,
∵
是椭圆
的上
、下顶点,
∴
…………………1分
,
,
两式相乘得
.………………………3分
而
在椭圆
(
)上,
所以
,即
,所以
.……………4分
又当
时,不合题意,去掉顶点.
∴直线
与
的交点的轨迹
的方程是
;……………5分
方法二:设直线
与
的交点为
,
∵
是椭圆
的上、下顶点,
∴
…………………1分
∵
共线,
共线,
∴
…………①
…………②…………………3分
①
②得
,
又∵
即
,
∴
,即
,
∴直线
与
的交点的轨迹
的方程是
;(
)……………5分
(Ⅱ)假设存在满足条件的直线,由已知,其斜率一定存在,设其斜率为
,
设
,
,
,
由
得
,
.…………………6分
,
∵
,∴
,
∵
,∴
,
∵
,
,
,
又∵
,∴
,
∴
,
即
.………………………8分
将
,
,
代入上式并整理得
,…………………9分
当
时,
,
当
时,
,
恒成立,
…………………11分
所以,
在
轴上存在定点
,使得
,点
的坐标为
.………12分
解析
略
举一反三
已知椭圆
的离心率为
,且两个焦点和短轴的一个端点是一个等腰三角形的顶点.斜率为
的直线
过椭圆的上焦点且与椭圆相交于
,
两点,线段
的垂直平分线与
轴相交于点
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)求
的取值范围;
(Ⅲ)试用
表示△
的面积,并求面积的最大值.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
:
(
),其焦距为
,若
(
),则称椭圆
为“黄金椭圆”.
(1)求证:在黄金椭圆
:
(
)中,
、
、
成等比数列.
(2)黄金椭圆
:
(
)的右焦点为
,
为椭圆
上的
任意一点.是否存在过点
、
的直线
,使
与
轴的交点
满足
?若存在,求直线
的斜率
;若不存在,请说明理由.
(3)在黄金椭圆中有真命题:已知黄金椭圆
:
(
)的左、右焦点分别是
、
,以
、
、
、
为顶点的菱形
的内切圆过焦点
、
.试写出“黄金双曲线”的定义;对于上述命题,在黄金双曲线中写出相关的真命题,并加以证明.
题型:不详
难度:
|
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(本题满分15分)
设椭圆
,
已知
(Ⅰ) 求椭圆
E
的方程;
(Ⅱ)已知过点
M
(1,0)的直线交椭圆
E
于
C,D
两点,若存在动点
N
,使得直线
NC,NM,ND
的斜率依次成等差数列,试确定点
N
的轨迹方程.
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分13分)
已知椭圆
经过点(p,q),离心率
其中p,q分别表示标准正态分布的期望值与标准差。
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线
与椭圆C交于A,B两点,点A关于x轴的对称点为
。①试建立
的面积关于m的函数关系;②莆田十中高三(1)班数学兴趣小组通过试验操作初步推断:“当m变化时,直线
与x轴交于一个定点”。你认为此推断是否正确?若正确,请写出定点坐标,并证明你的结论;若不正确,请说明理由。
题型:不详
难度:
|
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(12分)已知
、
分别是椭圆
的左、右焦点,点B是其上顶点,椭圆的右准线与
轴交于点N,且
。
(1)求椭圆方程;
(2)直线
:
与椭圆交于不同的两点M、Q,若△BMQ是以MQ为底边的等腰三角形,求
的值。
题型:不详
难度:
|
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