已知椭圆的离心率为,且两个焦点和短轴的一个端点是一个等腰三角形的顶点.斜率为的直线过椭圆的上焦点且与椭圆相交于,两点,线段的垂直平分线与轴相交于点.(Ⅰ)求椭圆
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已知椭圆的离心率为,且两个焦点和短轴的一个端点是一个等腰三角形的顶点.斜率为的直线过椭圆的上焦点且与椭圆相交于,两点,线段的垂直平分线与轴相交于点.(Ⅰ)求椭圆
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆
的离心率为
,且两个焦点和短轴的一个端点是一个等腰三角形的顶点.斜率为
的直线
过椭圆的上焦点且与椭圆相交于
,
两点,线段
的垂直平分线与
轴相交于点
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)求
的取值范围;
(Ⅲ)试用
表示△
的面积,并求面积的最大值.
答案
解:(Ⅰ)依题意可得,
,
,
又
,
可得
.
所以椭圆方程为
.
(Ⅱ)设直线
的方程为
,
由
可得
.
设
,
则
,
.
可得
.
设线段
中点为
,则点
的坐标为
,
由题意有
,
可得
.
可得
,
又
,
所以
.
(Ⅲ)设椭圆上焦点为
,
则
.
,
由
,可得
.
所以
.
又
,
所以
.
所以△
的面积为
(
).
设
,
则
.
可知
在区间
单调递增,在区间
单调递减.
所以,当
时,
有最大值
.
所以,当
时,△
的面积有最大值
解析
略
举一反三
已知椭圆
:
(
),其焦距为
,若
(
),则称椭圆
为“黄金椭圆”.
(1)求证:在黄金椭圆
:
(
)中,
、
、
成等比数列.
(2)黄金椭圆
:
(
)的右焦点为
,
为椭圆
上的
任意一点.是否存在过点
、
的直线
,使
与
轴的交点
满足
?若存在,求直线
的斜率
;若不存在,请说明理由.
(3)在黄金椭圆中有真命题:已知黄金椭圆
:
(
)的左、右焦点分别是
、
,以
、
、
、
为顶点的菱形
的内切圆过焦点
、
.试写出“黄金双曲线”的定义;对于上述命题,在黄金双曲线中写出相关的真命题,并加以证明.
题型:不详
难度:
|
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(本题满分15分)
设椭圆
,
已知
(Ⅰ) 求椭圆
E
的方程;
(Ⅱ)已知过点
M
(1,0)的直线交椭圆
E
于
C,D
两点,若存在动点
N
,使得直线
NC,NM,ND
的斜率依次成等差数列,试确定点
N
的轨迹方程.
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分13分)
已知椭圆
经过点(p,q),离心率
其中p,q分别表示标准正态分布的期望值与标准差。
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线
与椭圆C交于A,B两点,点A关于x轴的对称点为
。①试建立
的面积关于m的函数关系;②莆田十中高三(1)班数学兴趣小组通过试验操作初步推断:“当m变化时,直线
与x轴交于一个定点”。你认为此推断是否正确?若正确,请写出定点坐标,并证明你的结论;若不正确,请说明理由。
题型:不详
难度:
|
查看答案
(12分)已知
、
分别是椭圆
的左、右焦点,点B是其上顶点,椭圆的右准线与
轴交于点N,且
。
(1)求椭圆方程;
(2)直线
:
与椭圆交于不同的两点M、Q,若△BMQ是以MQ为底边的等腰三角形,求
的值。
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
C
:
,以抛物线
的焦点为椭圆的一个焦点,且短轴一个端点与两个焦点可组成一个等边三角形,则椭圆C的离心率为
A
.
B
.
C
.
D
.
题型:不详
难度:
|
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