已知椭圆的离心率为,且两个焦点和短轴的一个端点是一个等腰三角形的顶点.斜率为的直线过椭圆的上焦点且与椭圆相交于,两点,线段的垂直平分线与轴相交于点.(Ⅰ)求椭圆

已知椭圆的离心率为,且两个焦点和短轴的一个端点是一个等腰三角形的顶点.斜率为的直线过椭圆的上焦点且与椭圆相交于,两点,线段的垂直平分线与轴相交于点.(Ⅰ)求椭圆

题型:不详难度:来源:
已知椭圆的离心率为,且两个焦点和短轴的一个端点是一个等腰三角形的顶点.斜率为的直线过椭圆的上焦点且与椭圆相交于两点,线段的垂直平分线与轴相交于点
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)求的取值范围;
(Ⅲ)试用表示△的面积,并求面积的最大值.
答案
 
解:(Ⅰ)依题意可得,

可得
所以椭圆方程为
(Ⅱ)设直线的方程为
可得


可得
设线段中点为,则点的坐标为
由题意有
可得
可得

所以
(Ⅲ)设椭圆上焦点为
.

,可得
所以

所以.
所以△的面积为).


可知在区间单调递增,在区间单调递减.
所以,当时,有最大值
所以,当时,△的面积有最大值
解析

举一反三
已知椭圆),其焦距为,若),则称椭圆为“黄金椭圆”.
(1)求证:在黄金椭圆)中,成等比数列.
(2)黄金椭圆)的右焦点为为椭圆上的
任意一点.是否存在过点的直线,使轴的交点满足?若存在,求直线的斜率;若不存在,请说明理由.
(3)在黄金椭圆中有真命题:已知黄金椭圆)的左、右焦点分别是,以为顶点的菱形的内切圆过焦点.试写出“黄金双曲线”的定义;对于上述命题,在黄金双曲线中写出相关的真命题,并加以证明.
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(本题满分15分)
设椭圆
已知
(Ⅰ) 求椭圆E的方程;
(Ⅱ)已知过点M(1,0)的直线交椭圆EC,D两点,若存在动点N,使得直线NC,NM,ND的斜率依次成等差数列,试确定点N的轨迹方程.
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(本小题满分13分)
已知椭圆经过点(p,q),离心率其中p,q分别表示标准正态分布的期望值与标准差。

(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线与椭圆C交于A,B两点,点A关于x轴的对称点为。①试建立的面积关于m的函数关系;②莆田十中高三(1)班数学兴趣小组通过试验操作初步推断:“当m变化时,直线与x轴交于一个定点”。你认为此推断是否正确?若正确,请写出定点坐标,并证明你的结论;若不正确,请说明理由。
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(12分)已知分别是椭圆的左、右焦点,点B是其上顶点,椭圆的右准线与轴交于点N,且
(1)求椭圆方程;
(2)直线与椭圆交于不同的两点M、Q,若△BMQ是以MQ为底边的等腰三角形,求的值。
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已知椭圆C,以抛物线的焦点为椭圆的一个焦点,且短轴一个端点与两个焦点可组成一个等边三角形,则椭圆C的离心率为                                 
A       B      C       D
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