定义域为[a,b]的函数y=f(x)图象的两个端点为A,B,向量ON=λ OA+(1-λ) OB,M(x,y)是f(x)图象上任意一点,其中x=λa+(1-λ)
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定义域为[a,b]的函数y=f(x)图象的两个端点为A,B,向量ON=λ OA+(1-λ) OB,M(x,y)是f(x)图象上任意一点,其中x=λa+(1-λ)
题型:单选题
难度:简单
来源:浦东新区一模
定义域为[a,b]的函数y=f(x)图象的两个端点为A,B,向量
ON
=λ
OA
+(1-λ)
OB
,M(x,y)是f(x)图象上任意一点,其中x=λ
a
+(1-λ)
b
,λ∈[0,1].若不等式|MN|≤k恒成立,则称函数f(x)在[a,b]上满足“k范围线性近似”,其中最小的正实数k称为该函数的线性近似阀值.下列定义在[1,2]上函数中,线性近似阀值最小的是( )
A.y=x
2
B.
y=
2
x
C.
y=sin
π
3
x
D.
y=x-
1
x
答案
由题意,M、N横坐标相等,不等式|MN|≤k对λ∈[0,1]恒成立,最小的正实数k应为|MN|的最大值.
①对于函数y=x
2
,由A、B是其图象上横坐标分别为a、b的两点,则A(1,1),(2,4)∴AB方程为y-1=
4-1
2-1
(x-1),即y=3x-2
|MN|=|x
2
-(3x-2)|=|(x-
3
2
)
2
-
1
4
|≤
1
4
,线性近似阀值为
1
4
.
②同样对于函数
y=
2
x
,由A(1,2),(2,1),AB方程为y=-x+3,|MN|═-x+3-
2
x
=3-(x+
2
x
)≤3-2
2
,线性近似阀值为3-2
2
.
③同样对于函数
y=sin
π
3
x
,A(1,
3
2
),B(2,
3
2
),AB方程为y=
3
2
,由三角函数图象与性质可知|MN|≤1-
3
2
,线性近似阀值为1-
3
2
,
④同样对于函数
y=x-
1
x
,得A(1,0),B(2,
3
2
),
∴直线AB方程为y=
3
2
(x-1)
∴|MN|=|=
x-
1
x
-
3
2
(x-1)=
3
2
-(
x
2
+
1
x
)
≤
3
2
-
2
,线性近似阀值为
3
2
-
2
.
由于为
1
4
>3-2
2
>1-
3
2
>
3
2
-
2
.所以线性近似阀值最小的是
y=x-
1
x
故选D
举一反三
已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x
2
-2x,则当x<0时,f(x)=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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函数f(x)在R上为奇函数,且x>0时,f(x)=
x
+1,则当x<0时,f(x)=______.
题型:填空题
难度:简单
|
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不等式a
2
+3b
2
≥λb(a+b)对任意a,b∈R恒成立,则实数λ的最大值为______.
题型:填空题
难度:一般
|
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函数f(x)=x
3
+x的图象关于( )
A.坐标原点对称
B.x轴对称
C.y轴对称
D.直线y=x对称
题型:单选题
难度:一般
|
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函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2)=
1
f(x)
,若f(1)=-5,则f[f(5)]=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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