设抛物线C:y2=4x,F为C的焦点,过F的直线L与C相交于A、B两点.(1)设L的斜率为2,求|AB|的大小;(2)求证:OA•OB是一个定值.

设抛物线C:y2=4x,F为C的焦点,过F的直线L与C相交于A、B两点.(1)设L的斜率为2,求|AB|的大小;(2)求证:OA•OB是一个定值.

题型:不详难度:来源:
设抛物线C:y2=4x,F为C的焦点,过F的直线L与C相交于A、B两点.
(1)设L的斜率为2,求|AB|的大小;
(2)求证:


OA


OB
是一个定值.
答案
(1)依题意得F(1,0),∴直线L的方程为y=2(x-1),
设直线L与抛物线的交点A(x1,y1),B(x2,y2),
联立





y=2(x-1)
y2=4x
消去y整理得x2-3x+1=0,
∴x1+x2=3,x1x2=1.
法一:|AB|=


1+k2
|x1-x2|
=


1+k2


(x1+x2)2-4x1x2
=


5


32-4•1
=5

法二:|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=3+2=5.
(2)证明:设直线L的方程为x=ky+1,
设直线L与抛物线的交点A(x1,y1),B(x2,y2),





x=ky+1
y2=4x
消去x整理得y2-4ky-4=0.
∴y1+y2=4k,y1y2=-4,


OA


OB
═(x1,y1)•(x2,y2
=x1x2+y1y2=(ky1+1)(ky2+1)+y1y2
=k2y1y2+k(y1+y2)+1+y1y2
=-4k2+4k2+1-4=-3.


OA


OB
是一个定值为-3.
举一反三
已知方程kx2+y2=4,其中k∈R,试就k的不同取值讨论方程所表示的曲线类型.
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椭圆
x2
4
+
y2
m2
=1与双曲线
x2
m
-
y2
2
=1有相同的焦点,则实数m的值是______.
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若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支交于不同的两点,则k的取值范围是(  )
A.(-


15
3


15
3
)
B.(0,


15
3
)
C.(-


15
3
,0)
D.(-


15
3
,-1)
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已知抛物线方程为x2=4y,过点M(2,3)作直线l交抛物线于A、B两点,且M为线段AB中点.
(1)求直线l的方程;
(2)求线段AB的长.
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已知椭圆C方程为
x2
4
+
y2
3
=1
,直线l:y=
x
2
+m
与椭圆C交于A、B两点,点P(1,
3
2
)

(1)求弦AB中点M的轨迹方程;
(2)设直线PA、PB斜率分别为k1、k2,求证:k1+k2为定值.
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