已知椭圆:(),其焦距为,若(),则称椭圆为“黄金椭圆”.(1)求证:在黄金椭圆:()中,、、成等比数列.(2)黄金椭圆:()的右焦点为,为椭圆上的任意一点.是
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已知椭圆:(),其焦距为,若(),则称椭圆为“黄金椭圆”.(1)求证:在黄金椭圆:()中,、、成等比数列.(2)黄金椭圆:()的右焦点为,为椭圆上的任意一点.是
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆
:
(
),其焦距为
,若
(
),则称椭圆
为“黄金椭圆”.
(1)求证:在黄金椭圆
:
(
)中,
、
、
成等比数列.
(2)黄金椭圆
:
(
)的右焦点为
,
为椭圆
上的
任意一点.是否存在过点
、
的直线
,使
与
轴的交点
满足
?若存在,求直线
的斜率
;若不存在,请说明理由.
(3)在黄金椭圆中有真命题:已知黄金椭圆
:
(
)的左、右焦点分别是
、
,以
、
、
、
为顶点的菱形
的内切圆过焦点
、
.试写出“黄金双曲线”的定义;对于上述命题,在黄金双曲线中写出相关的真命题,并加以证明.
答案
(1)证明:由
及
,得
,故
、
、
成等比数列.(3分)
(2)解:由题设,显然直线
垂直于
轴时不合题意,设直线
的方程为
,
得
,又
,及
,得点
的坐标为
,(5分)
因为点
在椭圆上,所以
,又
,得
,
,故存在满足题意的直线
,其斜率
.(6分)
(3)黄金双曲线的定义:已知双曲线
:
,其焦距为
,若
(或写成
),则称双曲线
为“黄金双曲线”.(8分)
在黄金双曲线中有真命题:已知黄金双曲线
:
的左、右焦点分别是
、
,以
、
、
、
为顶点的菱形
的内切圆过顶点
、
.(10分)
证明:直线
的方程为
,原点到该直线的距离为
,
将
代入,得
,又将
代入,化简得
,
故直线
与圆
相切,同理可证直线
、
、
均与圆
相切,即以
、
为直径的圆
为菱形
的内切圆,命题得证.(13分)
解析
略
举一反三
(本题满分15分)
设椭圆
,
已知
(Ⅰ) 求椭圆
E
的方程;
(Ⅱ)已知过点
M
(1,0)的直线交椭圆
E
于
C,D
两点,若存在动点
N
,使得直线
NC,NM,ND
的斜率依次成等差数列,试确定点
N
的轨迹方程.
题型:不详
难度:
|
查看答案
(本小题满分13分)
已知椭圆
经过点(p,q),离心率
其中p,q分别表示标准正态分布的期望值与标准差。
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线
与椭圆C交于A,B两点,点A关于x轴的对称点为
。①试建立
的面积关于m的函数关系;②莆田十中高三(1)班数学兴趣小组通过试验操作初步推断:“当m变化时,直线
与x轴交于一个定点”。你认为此推断是否正确?若正确,请写出定点坐标,并证明你的结论;若不正确,请说明理由。
题型:不详
难度:
|
查看答案
(12分)已知
、
分别是椭圆
的左、右焦点,点B是其上顶点,椭圆的右准线与
轴交于点N,且
。
(1)求椭圆方程;
(2)直线
:
与椭圆交于不同的两点M、Q,若△BMQ是以MQ为底边的等腰三角形,求
的值。
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知椭圆
C
:
,以抛物线
的焦点为椭圆的一个焦点,且短轴一个端点与两个焦点可组成一个等边三角形,则椭圆C的离心率为
A
.
B
.
C
.
D
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
(本小题满分12分)
如图,在等边
中,
O
为边
的中点,
,
D
、
E
为
的高线上的点,且
,
.若以
A
,
B
为焦点,
O
为中心的椭圆过点
D
,建立适当的直角坐标系,记椭圆为
M
(1)求椭圆
M
的方程;
(2)过点
E
的直线
与椭圆
M
交于不同的两点
P
,
Q
,点
P
在点
E
,
Q
之
间,且
,求实数
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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