(12分)椭圆C:的两个焦点分别为 ,是椭圆上一点,且满足。(1)求离心率e的取值范围;(2)当离心率e取得最小值时,点N( 0 , 3 )到椭圆上的点的最远距
题型:不详难度:来源:
(12分)椭圆C: 的两个焦点分别为 , 是椭圆上一点,且满足 。 (1)求离心率e的取值范围; (2)当离心率e取得最小值时,点N( 0 , 3 )到椭圆上的点的最远距离为 。 (i)求此时椭圆C的方程; (ii)设斜率为 的直线l与椭圆C相交于不同的两点A、B,Q为AB的中点,问A、B两点能否关于过点P(0, )、Q的直线对称?若能,求出 的取值范围;若不能,请说明理由。 |
答案
略 |
解析
解:(1)、由几何性质知的取值范围为:≤e<1………………3分 (2)、(i) 当离心率e取最小值时,椭圆方程可表示为+ =" 1" 。设H( x , y )是椭圆上的一点,则| NH |2 =x2+(y-3)2 =" -" (y+3)2+2b2+18 ,其中 - b≤y≤b 若0<b<3 ,则当y =" -" b时,| NH |2有最大值b2+6b+9 ,所以由b2+6b+9=50解得b = -3±5(均舍去) …………………5分 若b≥3,则当y = -3时,| NH |2有最大值2b2+18 ,所以由2b2+18=50解得b2=16 ∴所求椭圆方程为+ = 1………………7分 (ii) 设 A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y2 ),Q( x0 , y0 ),则由两式相减得x0+2ky0=0;……8分 又直线PQ⊥直线l,∴直线PQ的方程为y=" -" x - ,将点Q( x0 , y0 )坐标代入得y0=" -" x0- ………② ……9分 由①②解得Q( - k , ),而点Q必在椭圆的内部 ∴ + < 1,…… 10分, 由此得k2 < ,又k≠0 ∴ - < k < 0或0 < k < 故当( - , 0 ) ∪( 0 , )时,A、B两点关于过点P、Q、的直线对称。…………12分 |
举一反三
在一椭圆中以焦点 为直径两端点的圆,恰好过短轴的两顶点,则此椭圆的离心率 等于 ( ) |
在平面直角坐标系 中,已知△ 顶点![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191023/20191023191521-38626.png) 分别为椭圆 的两个焦点,顶点 在该椭圆上,则 =_______________. |
椭圆 的两个焦点及其与坐标轴的一个交点正好是一个等边三角形的三个顶点,且椭圆上的点到焦点距离的最小值为 ,求椭圆的方程. |
(本小题满分12分) 已知椭圆 的中心在原点,焦点在 轴上,点 、 分别是椭圆的左、右焦点,在椭圆 的右准线上的点 ,满足线段 的中垂线过点 .直线 : 为动直线,且直线 与椭圆 交于不同的两点 、 . (1)求椭圆C的方程; (2)若在椭圆 上存在点 ,满足 ( 为坐标原点),求实数 的取值范围; (3)在(Ⅱ)的条件下,当 取何值时, 的面积最大,并求出这个最大值. |
(本小题满分14分) 已知A(1,1)是椭圆 =1( )上一点, 是椭圆的两焦点,且满足 . (1)求椭圆的标准方程; (2)设点 是椭圆上两点,直线 的倾斜角互补,求直线 的斜率. |
最新试题
热门考点