14分)已知椭圆中心在原点,焦点在x轴上,一个顶点为A(0,-1),且其右焦点到直线x-y+=0的距离为3.(I)求椭圆的方程;(II)是否存在斜率为k(k≠0
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14分)已知椭圆中心在原点,焦点在x轴上,一个顶点为A(0,-1),且其右焦点到直线x-y+=0的距离为3.(I)求椭圆的方程;(II)是否存在斜率为k(k≠0
题型:不详
难度:
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14分)已知椭圆中心在原点,焦点在x轴上,一个顶点为A(0,-1),且其右焦点到直线x-y+
=0的距离为3.(I)求椭圆的方程;
(II)是否存在斜率为k(k≠0)的直线l,使l与已知椭圆交于不同的两点M、N,
且|AN|=|AM|?若存在,求出k的取值范围;若不存在,请说明理由.
答案
(1)
(2)故满足条件的直线l存在,其斜率k的范围为-1<k<1且k≠0.
解析
(I)解:由题意,设椭圆方程为:
(a>1),
则右焦点为F (
,0),由已知
,解得:a=
∴椭圆方程为:
…………5分
(II)解:设存在满足条件的直线l,其方程为y=kx+b(k≠0)
由
得:
① …………7分
设M(x1,y1)、N(x2,y2)是方程①的两根,则
② …………9分
由韦达定理得:
从而MN的中点P的坐标为(
) ……10分
∵|AM|=|AN| ∴AP是线段MN的垂直平分线 ∴AP⊥MN
于是
, ………12分
代入②并整理得:(3k2+1)(k2-1)<0,∴-1<k<1
故满足条件的直线l存在,其斜率k的范围为-1<k<1且k≠0. ………14分
举一反三
椭圆
的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
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(本小题满分12分)设椭圆
焦点坐标为F1(-c,0), F2(c,0),点Q是椭圆短轴上的顶点,且满足
.
(1)求椭圆
的方程;
(2)设A,B是圆与
与y轴的交点,
是椭圆
上的任一点,求
的最大值.
题型:不详
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如图所示,椭圆中心在原点,
F
是左焦点,直线
与
BF
交于
D
,
且
,则椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
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已知椭圆中心在原点,一个焦点为
,且长轴是短轴长的2倍,则该椭圆的标准方程是
。
题型:不详
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|
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(本小题满分14分)
如图已知
△
OPQ
的面积为
S
,且
.
(Ⅰ)若
的取值范围;
(Ⅱ)设
为中心,
P
为焦点的椭圆经过点
Q
,当
m
≥2时,求
的最小值,并求出此时的椭圆方程。
题型:不详
难度:
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