已知椭圆：上一点及其焦点满足⑴求椭圆的标准方程。⑵如图，过焦点F2作两条互相垂直的弦AB，CD，设弦AB，CD的中点分别为M，N。①线段MN是否恒过一个定点？如

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已知椭圆：上一点及其焦点满足

⑴求椭圆的标准方程。
⑵如图，过焦点F₂作两条互相垂直的弦AB，CD，设弦AB，CD的中点分别为M，N。
①线段MN是否恒过一个定点？如果经过定点，试求出它的坐标，如果不经过定点，试说明理由；
②求分别以AB，CD为直径的两圆公共弦中点的轨迹方程。

答案

，其轨迹是过定点的圆，MN恒过定点

解析

解：⑴ ………………………3分
⑵①设直线AB的方程为：并整理得：

{007}设，则有：

所以点            …………3分
，∴将t换成，即得：   …………5分
由两点式得直线MN的方程为

当y=0时，所以直线MN恒过定点。          …………7分
②以弦AB为直径的圆M的方程为：
①…………9分
又将t换成，即得以弦CD为直径的圆N的方程为：
②…………10分
①—②得两圆公共弦所在直线方程为：③
又直线MN的方程为：④…………12分
联解③④，消去，得两圆公共弦中点的轨迹方程为：
。
其轨迹是过定点的圆。…………13分