设椭圆M：(a＞b＞0)的离心率为，长轴长为，设过右焦点F倾斜角为的直线交椭圆M于A，B两点。（Ⅰ）求椭圆M的方程；（2）设过右焦点F且与直线AB垂直的直线交椭

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设椭圆M：(a＞b＞0)的离心率为，长轴长为，设过右焦点F倾
斜角为的直线交椭圆M于A，B两点。
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（2）设过右焦点F且与直线AB垂直的直线交椭圆M于C，D，求|AB| + |CD|的最小
值。

答案

,

解析

解：（Ⅰ）所求椭圆M的方程为…3分
（Ⅱ）当≠，设直线AB的斜率为k = tan，焦点F ( 3 , 0 )，则直线AB的方程为     y = k ( x – 3 )              有( 1 + 2k² )x² – 12k²x + 18( k² – 1 ) =" 0"
设点A ( x₁ , y₁ ) , B ( x₂ , y₂ )             有x₁ + x₂ =, x₁x₂ =
|AB| =             
又因为k = tan=代入**式得  |AB| =
当=时，直线AB的方程为x = 3，此时|AB| =
而当=时，|AB| ==                  |AB| =
同理可得         |CD| ==
有|AB| + |CD| =+=
因为sin2∈[0，1]，所以  当且仅当sin2=1时，|AB|+|CD|有最小值是