直角三角形的直角顶点为动点，，为两个定点，作于，动点满足，当点运动时，设点的轨迹为曲线，曲线与轴正半轴的交点为．(Ⅰ) 求曲线的方程；(Ⅱ) 是否存在方向向量为

题型：不详难度：来源：

直角三角形的直角顶点为动点，，为两个定点，作于，动点满足，当点运动时，设点的轨迹为曲线，曲线与轴正半轴的交点为．
(Ⅰ) 求曲线的方程；
(Ⅱ) 是否存在方向向量为m的直线，与曲线交于，两点，且 与的夹角为？若存在，求出所有满足条件的直线方程；若不存在，说明理由．

答案

（Ⅰ）曲线的方程为；（Ⅱ）存在满足条件的直线．

解析

（I）由题意知，点在以为直径的圆上，且除去两点．
即点坐标满足方程：．
设点，，则，　　①
由知，，即．代入①式
得　，即，曲线的方程为．           
（II）由（I）知，点，假设直线存在，可设，设，不妨令 ，则由 得 ．                
 ，，，
．  ,
则
，
则， 即，，解得或．                           
当时，向量与的夹角为，不合题意舍去；
当时，向量与的夹角为，符合题意．
综上，存在满足条件的直线．