已知椭圆中心在原点,焦点在y轴上,离心率为,以原点为圆心,椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)设点F是椭圆在y轴正半轴上的一个焦点,

已知椭圆中心在原点,焦点在y轴上,离心率为,以原点为圆心,椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)设点F是椭圆在y轴正半轴上的一个焦点,

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已知椭圆中心在原点,焦点在y轴上,离心率为,以原点为圆心,椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设点F是椭圆在y轴正半轴上的一个焦点,点A,B是抛物线上的两个动点,且满足,过点A,B分别作抛物线的两条切线,设两切线的交点为M,试推断是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,说明理由.
答案
(Ⅰ)(Ⅱ)为定值0.
解析
(Ⅰ)设椭圆方程为(ab>0).       
因为,得.又,则.
故椭圆的标准方程是.                          (5分)
(Ⅱ)由椭圆方程知,c=1,所以焦点F(0,1),设点A(x1y1),B(x2y2).
,得(-x1,1-y1)=λ(x2y2-1),所以-x1λx2,1-y1λ(y2-1). (7分)
于是.因为,则y1λ2y2.
联立y1λ2y2和1-y1λ(y2-1),得y1λy2=.             (8分)
因为抛物线方程为yx2,求导得y′=x.设过抛物线上的点A、B的切线分别为l1l2,则
直线l1的方程是yx1(xx1)+y1,即yx1xx12.     (9分)
直线l2的方程是yx2(xx2)+y2,即yx2xx22.        (10分)
联立l1l2的方程解得交点M的坐标为.        (11分)
因为x1x2=-λx22=-4λy2=-4.所以点M.             (12分)
于是(x2x1y2y1).
所以=(x22x12)-2(x22x12)=0.
为定值0.       (13分)
举一反三
椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,焦距为2,且经过点A
(1)求满足条件的椭圆方程;
(2)求该椭圆的顶点坐标,长轴长,短轴长,离心率.
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(本小题满分12分)如图,中心在原点O的椭圆的右焦点为F(3,0),
右准线l的方程为:x = 12。
(1)求椭圆的方程;(4分)
(2)在椭圆上任取三个不同点,使
证明: 为定值,并求此定值。(8分)



 
  
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(本题满分12分)如图,过椭圆的左焦点x轴的垂线交椭圆于点P,点A和点B分别为椭圆的右顶点和上顶点,OPAB
(1)求椭圆的离心率e(2)过右焦点作一条弦QR,使QRAB.若△的面积为,求椭圆的方程.
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(本小题满分12分)标准椭圆的两焦点为在椭圆上,且.  (1)求椭圆方程;(2)若N在椭圆上,O为原点,直线的方向向量为,若交椭圆于AB两点,且NANB轴围成的三角形是等腰三角形(两腰所在的直线是NANB),则称N点为椭圆的特征点,求该椭圆的特征点.
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F1F2分别为椭圆C =1(ab>0)的左、右两个焦点.
(1)若椭圆C上的点A(1,)到F1F2两点的距离之和等于4,写出椭圆C的方程和焦点坐标;
(2)设点P是(1)中所得椭圆上的动点,当P在何位置时,最大,说明理由,并求出最大值。
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