(本小题满分12分) 如图,在三棱锥中,,,,,, 点,分别在棱上,且, (I)求证:平面; (II)当为的中点时,求与平面所成的角的大小; (III)是否存在

(本小题满分12分) 如图,在三棱锥中,,,,,, 点,分别在棱上,且, (I)求证:平面; (II)当为的中点时,求与平面所成的角的大小; (III)是否存在

题型:不详难度:来源:
(本小题满分12分)
如图,在三棱锥中,, 点分别在棱上,且

(I)求证:平面
(II)当的中点时,求与平面所成的角的大小;
(III)是否存在点使得二面角为直二面角?并说明理由.
答案

(I)证明略
(II)
(III)存在,理由略
解析
解:(法1)(Ⅰ)∵,∴PA⊥底面ABC,∴PA⊥BC.又,∴AC⊥BC.∴BC⊥平面PAC.(4分)
(Ⅱ)∵D为PB的中点,DE//BC,∴
又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC,垂足为点E.
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角,∵PA⊥底面ABC,
∴PA⊥AB,又PA=AB,∴△ABP为等腰直角三角形,
,∴在Rt△ABC中,,∴.
∴在Rt△ADE中,
与平面所成的角的大小.(8分)
(Ⅲ)∵AE//BC,又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC,
又∵AE平面PAC,PE平面PAC,∴DE⊥AE,DE⊥PE,
∴∠AEP为二面角的平面角,∵PA⊥底面ABC,
∴PA⊥AC,∴.∴在棱PC上存在一点E,使得AE⊥PC,
这时,故存在点E使得二面角是直二面角.(12分)
(法2)如图,以A为原煤点建立空间直角坐标系,设
由已知可得.
(Ⅰ)∵,∴
∴BC⊥AP.又∵,∴BC⊥AC,∴BC⊥平面PAC.(4分)
(Ⅱ)∵D为PB的中点,DE//BC,∴E为PC的中点,
,∴又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,
∴DE⊥平面PAC,垂足为点E.∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角,


与平面所成的角的大小。(8分)
(Ⅲ)∵AE//BC,又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC,
又∵AE平面PAC,PE平面PAC,∴DE⊥AE,DE⊥PE,
∴∠AEP为二面角的平面角,∵PA⊥底面ABC,
∴PA⊥AC,∴.∴在棱PC上存在一点E,
使得AE⊥PC,这时
故存在点E使得二面角是直二面角.(12分)
举一反三
对于不重合的两个平面α与β,给定下列条件:
①存在平面γ,使得α、β都平行于γ;
②存在平面γ,使得α、β都垂直于γ;
③α内有不共线的三点到β的距离相等;
④存在异面直线l,m,使得l//α,l//β,m//α,m//β;
A.1个B.2个C.3个D.4个

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如图,动点P在正方体ABCD—A1B1C1D1的对角线BD1上,过点P作垂直于平面BB1D1D的直线,与正方体表面交于M、N,设BP=x,MN=y,则函数的图象大致是

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(本题满分12分)
如图所示的空间几何体,平面ACD⊥平面ABC,AB=BC=CA=DA=DC=BE=2,BE和平面ABC所成的角为.且点E在平面ABC上的射影落在的平分线上。

(I)求证:DE//平面ABC;
(II)求二面角E—BC—A的余弦;
(III)求多面体ABCDE的体积。
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三棱锥的两个面是边长为的等边三角形,另外两个面是等腰直角三角形,则这个三棱锥的体积为        
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(本小题满分12分)如图,矩形ABCD,PA⊥平面ABCD,M、N、R分别是AB、PC、CD的中点。
①求证:直线AR∥平面PMC;
②求证:直线MN⊥直线AB。
 
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