已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,直线是抛物线的一条切线.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)过点的动直线L交椭圆C于A、B两点.问:是否存在一个

已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,直线是抛物线的一条切线.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)过点的动直线L交椭圆C于A、B两点.问:是否存在一个

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已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,直线是抛物线的一条切线.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过点的动直线L交椭圆CAB两点.问:是否存在一个定点T,使得以AB为直径的圆恒过点T ? 若存在,求点T坐标;若不存在,说明理由.
答案
(Ⅰ)
(Ⅱ)T(0,1)
解析
(Ⅰ)由
因直线相切,,∴
……2分
∵圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角
形,∴                                   …… 4分
故所求椭圆方程为                            ……5分
(Ⅱ)当L与x轴平行时,以AB为直径的圆的方程:
当L与x轴垂直时,以AB为直径的圆的方程:  

即两圆公共点(0,1)
因此,所求的点T如果存在,只能是(0,1)                ……8分
(ⅰ)当直线L斜率不存在时,以AB为直径的圆过点T(0,1)
(ⅱ)若直线L斜率存在时,可设直线L:

记点           ……10分

 
           
∴TA⊥TB,
综合(ⅰ)(ⅱ),以AB为直径的圆恒过点T(0,1).            ……12分
举一反三
若椭圆经过原点,且焦点F1(1,0),F(3,0),则其离心率为 (  )
A.B.C.D.

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一束光线从点出发,经直线上一点反射后,恰好穿过点.(Ⅰ)求点关于直线的对称点的坐标;
(Ⅱ)求以为焦点且过点的椭圆的方程;
(Ⅲ)设直线与椭圆的两条准线分别交于两点,点为线段上的动点,求点 到的距离与到椭圆右准线的距离之比的最小值,并求取得最小值时点的坐标.
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交于A、B两点,且,则直线AB的方程为:                                (  )
A、                                                    B、
C、                                                    D、
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椭圆上的一点P到两焦点的距离的乘积为m,则当m取最大值时,点P的坐标是_____________________.
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在直角坐标平面内,已知点是平面内一动点,直线斜率之积为.
(Ⅰ)求动点的轨迹的方程;
(Ⅱ)过点作直线与轨迹交于两点,线段的中点为,求直线的斜率的取值范围.
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