已知椭圆的左、右焦点分别为，若以为圆心，为半径作圆，过椭圆上一点作此圆的切线，切点为，且的最小值不小于为．（1）求椭圆的离心率的取值范围；（2）设椭圆的短半轴长

题型：不详难度：来源：

已知椭圆的左、右焦点分别为，若以为圆心，为半径作圆，过椭圆上一点作此圆的切线，切点为，且的最小值不小于为．
（1）求椭圆的离心率的取值范围；
（2）设椭圆的短半轴长为，圆与轴的右交点为，过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若，求直线被圆截得的弦长的最大值．

答案

（1）（2）

解析

（1）依题意设切线长

∴当且仅当取得最小值时取得最小值，
而，．．．．．．2分
，，
从而解得，故离心率的取值范围是；．．．．．．6分
（2）依题意点的坐标为，则直线的方程为， 联立方程组  
得，设，则有，，代入直线方程得，
，又，，
．．．．．．10分
，直线的方程为，圆心到直线的距离，由图象可知，
，，，所以．．．．．．．14分