设AB是椭圆的长轴，点C在椭圆上，且∠CBA=π4．若AB=4，BC=2，则椭圆的焦距为（　　）A．33B．263C．463D．233

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设AB是椭圆的长轴，点C在椭圆上，且∠CBA=π4．若AB=4，BC=2，则椭圆的焦距为（　　）A．33B．263C．463D．233

题型：不详难度：来源：
设AB是椭圆的长轴，点C在椭圆上，且∠CBA=
π
4
．若AB=4，BC=


2
，则椭圆的焦距为（　　）
A．


3
3
B．
2


6
3
C．
4


6
3
D．
2


3
3
答案
如图，设椭圆的标准方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1，
由题意知，2a=4，a=2．
∵∠CBA=
π
4
，BC=


2
，可设C（y0-2，y0），
∵B（-2，0），
∴


BC
=（y0，y0），
∴|


BC
|=


2
y0=


2
，解得y0=1，
∴点C的坐标为C（-1，1），
∵点C在椭圆上，∴
(-1)2
4
+
12
b2
=1，
∴b2=
4
3
，
∴c2=a2-b2=4-
4
3
=
8
3
，c=
2


6
3
，
∴椭圆的焦距为
4


6
3
．
故选：C．
举一反三
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为


3
3
，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为


2
2
，
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有


OP
=


OA
+


OB
成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．
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椭圆
x2
25
+
y2
9
=1上一点A到焦点F的距离为2，B为AF的中点，O为坐标原点，则|OB|的值为（　　）
A．8B．4C．2D．
3
2
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过椭圆x2+2y2=2的焦点引一条倾斜角为45°的直线与椭圆交于A、B两点，椭圆的中心为O，则△AOB的面积为______．
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设F1，F2分别为椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，F1到直线l的距离为2


3
．
（Ⅰ）求椭圆C的焦距；
（Ⅱ）如果


AF2
=2


F2B
，求椭圆C的方程．
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点A、B分别是椭圆
x2
36
+
y2
20
=1长轴的左、右焦点，点F是椭圆的右焦点．点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF．
（1）求P点的坐标；
（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．
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