已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为33,过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点,当l的斜率为1时,坐标原点O到l的距离为22,(Ⅰ)求a

已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为33,过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点,当l的斜率为1时,坐标原点O到l的距离为22,(Ⅰ)求a

题型:不详难度:来源:
已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率为


3
3
,过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点,当l的斜率为1时,坐标原点O到l的距离为


2
2

(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)C上是否存在点P,使得当l绕F转到某一位置时,有


OP
=


OA
+


OB
成立?若存在,求出所有的P的坐标与l的方程;若不存在,说明理由.
答案
(I)设F(c,0),直线l:x-y-c=0,
由坐标原点O到l的距离为


2
2

|0-0-c|


2
=


2
2
,解得c=1
e=
c
a
=


3
3
,∴a=


3
,b=


2

(II)由(I)知椭圆的方程为C:
x2
3
+
y2
2
=1

设A(x1,y1)、B(x2,y2
由题意知l的斜率为一定不为0,故不妨设l:x=my+1
代入椭圆的方程中整理得(2m2+3)y2+4my-4=0,显然△>0.
由韦达定理有:y1+y2=-
4m
2m2+3
y1y2=-
4
2m2+3
,①
假设存在点P,使


OP
=


OA
+


OB
成立,则其充要条件为:
点P的坐标为(x1+x2,y1+y2),
点P在椭圆上,即
(x1+x2)2
3
+
(y1+y2)2
2
=1

整理得2x12+3y12+2x22+3y22+4x1x2+6y1y2=6.
又A、B在椭圆上,即2x12+3y12=6,2x22+3y22=6、
故2x1x2+3y1y2+3=0②
将x1x2=(my1+1)(my2+1)=m2y1y2+m(y1+y2)+1及①代入②解得m2=
1
2

y1+y2=


2
2
或-


2
2

x1+x2=-
4m2
2m2+3
+2=
3
2
,即P(
3
2
,±


2
2
)

m=


2
2
时,P(
3
2
,-


2
2
),l:x=


2
2
y+1

m=-


2
2
时,P(
3
2


2
2
),l:x=-


2
2
y+1
举一反三
椭圆
x2
25
+
y2
9
=1
上一点A到焦点F的距离为2,B为AF的中点,O为坐标原点,则|OB|的值为(  )
A.8B.4C.2D.
3
2
题型:不详难度:| 查看答案
过椭圆x2+2y2=2的焦点引一条倾斜角为45°的直线与椭圆交于A、B两点,椭圆的中心为O,则△AOB的面积为______.
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设F1,F2分别为椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的左、右焦点,过F2的直线l与椭圆C相交于A,B两点,直线l的倾斜角为60°,F1到直线l的距离为2


3

(Ⅰ)求椭圆C的焦距;
(Ⅱ)如果


AF2
=2


F2B
,求椭圆C的方程.
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点A、B分别是椭圆
x2
36
+
y2
20
=1长轴的左、右焦点,点F是椭圆的右焦点.点P在椭圆上,且位于x轴上方,PA⊥PF.
(1)求P点的坐标;
(2)设M是椭圆长轴AB上的一点,M到直线AP的距离等于|MB|,求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.
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动点P为椭圆
x2
25
+
y2
16
=1
上任意一点,左右焦点分别是F1,F2,直线l为∠F1PF2的外角平分线,过F1作直线l的垂线,垂足为Q,则点Q的轨迹方程是(  )
A.x2+y2=25B.x2+y2=16C.x2-y2=25D.x22y2=16
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