设A,B分别为椭圆x2a2+y2b2=1 (a>b>0)的左、右顶点,椭圆的长轴长为4,且点(1,32)在该椭圆上.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设P为直线x=4上
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设A,B分别为椭圆x2a2+y2b2=1 (a>b>0)的左、右顶点,椭圆的长轴长为4,且点(1,32)在该椭圆上.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设P为直线x=4上
题型:不详
难度:
来源:
设A,B分别为椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1 (a>b>0)
的左、右顶点,椭圆的长轴长为4,且点
(1,
3
2
)
在该椭圆上.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设P为直线x=4上不同于点(4,0)的任意一点,若直线AP与椭圆相交于异于A的点M,证明:△MBP为钝角三角形.
答案
(Ⅰ)由题意:2a=4,所以a=2,所求椭圆方程为
x
2
4
+
y
2
b
2
=1
;
又点
(1,
3
2
)
在椭圆上,∴
1
4
+
3
4
b
2
=1,∴b
2
=1;
故所求椭圆方程为:
x
2
4
+
y
2
=1
.
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知,A(-2,0),B(2,0),设P(4,t),M(x
M
,y
M
),
则直线PA的方程为:
y=
t
6
(x+2)
,(t≠0);
由
y=
t
6
(x+2)
x
2
+4
y
2
=4
得 (9+t
2
)x
2
+4t
2
x+4t
2
-36=0;
因为直线PA与椭圆相交于异于A的点M,所以
-2+
x
M
=
-4
t
2
9+
t
2
,所以
x
M
=
-2
t
2
+18
9+
t
2
;
由
y
M
=
t
6
(
x
M
+2)
,得
y
M
=
6t
9+
t
2
,所以
M(
-2
t
2
+18
9+
t
2
,
6t
9+
t
2
)
;
从而
BM
=(-
4
t
2
9+
t
2
,
6t
9+
t
2
)
,
BP
=(2,t)
;所以
BM
•
BP
=-
8
t
2
9+
t
2
+
6
t
2
9+
t
2
=
-
2
t
2
9+
t
2
<0
.
又M,B,P三点不共线,所以∠MBP为钝角;所以△MBP为钝角三角形.
举一反三
椭圆
x
2
k
2
+
y
2
=1(k>0)
的一个焦点是(3,0),那么k=______.
题型:不详
难度:
|
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在△ABC中,∠A=15°,∠B=105°,若以A,B为焦点的椭圆经过点C.则该椭圆的离心率e=______.
题型:唐山三模
难度:
|
查看答案
已知椭圆的方程是
x
2
a
2
+
y
2
25
=1
(a>5),它的两个焦点分别为F
1
,F
2
,且|F
1
F
2
|=8,弦AB(椭圆上任意两点的线段)过点F
1
,则△ABF
2
的周长为______.
题型:肇庆一模
难度:
|
查看答案
已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的焦距为2c,且a,b,c依次成等差数列,则椭圆的离心率为 ______.
题型:广东模拟
难度:
|
查看答案
在△ABC中,A=90°,B=60°,一椭圆与一双曲线都以B,C为焦点,且都过A,它们的离心率分别为e
1
,e
2
,则e
1
+e
2
的值为( )
A.
2
3
B.
3
C.3
D.2
题型:重庆三模
难度:
|
查看答案
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