已知椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的两焦点与短轴的一个端点连结成等腰直角三角形,直线l:x-y-b=0是抛物线x2=4y的一条切线.(1)求椭圆方

已知椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的两焦点与短轴的一个端点连结成等腰直角三角形,直线l:x-y-b=0是抛物线x2=4y的一条切线.(1)求椭圆方

题型:不详难度:来源:
已知椭圆C:
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)的两焦点与短轴的一个端点连结成等腰直角三角形,直线l:x-y-b=0是抛物线x2=4y的一条切线.
(1)求椭圆方程;
(2)直线l交椭圆C于A、B两点,若点P满足


OP
+


OA
+


OB
=


0
(O为坐标原点),判断点P是否在椭圆C上,并说明理由.
答案
(1)联立





x-y-b=0
x2=4y
,消去y得到x2-4x+4b=0.
∵直线l:x-y-b=0是抛物线x2=4y的一条切线,∴△=16-16b=0,解得b=1.
∵椭圆C:
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)的两焦点与短轴的一个端点连结成等腰直角三角形,
a=


2
b=


2
.故所求的椭圆方程为
y2
2
+x2=1

(2)由





y=x-1
y2
2
+x2=1
得3x2-2x-1=0,解得x1=1,x2=-
1
3

A(1,0),B(-
1
3
,-
4
3
)

设P(x,y),∵


OA
+


OB
+


OP
=


0



OA
+


OB
+


OP
=(1-
1
3
+x,0-
4
3
+y)
=(0,0),
解得x=-
2
3
,y=
4
3
,∴P(-
2
3
4
3
)

把点P(-
2
3
4
3
)
代入椭圆方程
y2
2
+x2=1
,得
1
2
(
4
3
)2+(-
2
3
)2=
4
3
≠1

∴点P不在椭圆C上.
举一反三
若中心在原点,焦点坐标为(0,±5


2
)的椭圆被直线3x-y-2=0截得的弦的中点的横坐标为
1
2
,则椭圆方程为(  )
A.
2x2
25
+
2y2
75
=1
B.
2x2
75
+
2y2
25
=1
C.
x2
25
+
y2
75
=1
D.
x2
75
+
y2
25
=1
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若焦点在x轴上的椭圆x2+
y2
m
=1的离心率为


3
2
,则m的值是______.
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P是椭圆
x2
4
+y2=1
上一点,P到右焦点F2的距离为1,则P到左准线距离为(  )
A.


3
6
B.
2


3
3
C.


3
2
D.2


3
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已知椭圆C:mx2+4y2=4m的离心率是


2
2
,则m的值为______.
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过椭圆
x2
25
+
y2
9
=1
的中心的直线与椭圆交于A、B两点,F1是椭圆的右焦点,则△ABF1的面积的最大值为______.
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