已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的长轴长是短轴长的3倍，过椭圆上一点Q作斜率分别为k1，k2的直线QA，QB交椭圆于A，B两点，若点A，B关于原点对

题型：不详难度：来源：

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的长轴长是短轴长的

3

倍，过椭圆上一点Q作斜率分别为k₁，k₂的直线QA，QB交椭圆于A，B两点，若点A，B关于原点对称，则k₁k₂的值为______．

答案

因为椭圆的长轴长是短轴长的

3

倍，即2a=

3

×2b，即a=

3

b，即椭圆方程为x²+3y²=3b²．
设点Q（x，y），A（x₁，y₁），B（-x₁，-y₁），代入椭圆方程x²+3y²=3b²，
得

x

21

+3

y

21

=3b2，
所以k1k2=

y-y1

x-x1

⋅

y+y1

x+x1

=

y2- y 21

x2- x 21

=

y2- y 21

(3b2-3y2)-(3b2-3 y 21 )

=

y2- y 21

3 y 21 -3y2

=-

1

3

．
故答案为：-

1

3

．