已知椭圆C的中心在原点,焦点F1、F2在x轴上,点P为椭圆上的一个动点,且∠F1PF2的最大值为90°,直线l过左焦点F2与椭圆交于A、B两点,△ABF2的面积
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已知椭圆C的中心在原点,焦点F1、F2在x轴上,点P为椭圆上的一个动点,且∠F1PF2的最大值为90°,直线l过左焦点F2与椭圆交于A、B两点,△ABF2的面积最大值为12. (1)求椭圆C的离心率; (2)求椭圆C的方程. |
答案
(1)根据椭圆的性质可得,当P是椭圆短轴的顶点时,∠F1PF2 取最大值为90°,∴b=c, ∴a=c,∴离心率 =. (2)由(1)知,可设椭圆方程:+= 1,c>0,当直线l垂直于x轴时, 直线l的方程为 x=-c,,△ABF2 为等腰三角形,把x=-c 代入椭圆可得 y=±c. △ABF2的面积为 • c•2c= c2.令 c2=12,c2=6, 椭圆的方程为 + =1. 当直线l不垂直于x轴时,设直线l的方程为 y-0=k(x+c),代入椭圆的方程可得 (1+2k2)x2 +4c k2x+2c2(k2-1)=0,∴x1+x2 =,x1x2=. ∴AB=|x1-x2|=,AB边上的高h=2c•sin∠BF1F2=2c , ∴△ABF2的面积 S=•AB•h=••2c =2c2•=2c2•=2c2•≤c2, 故S的最大值为c2,此时,椭圆的方程为 + =1. |
举一反三
椭圆+=1的焦点坐标是( )A.(±1,0)) | B.(0,±) | C.(±,0 | D.(0,±1) |
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设椭圆+=1的两个焦点分别为F1,F2,若点P椭圆上,且cos∠F1PF2=,则|PF1|•|PF2|=______. |
已知椭圆的长轴长与短轴长之比为2:1,则它的离心率为( ) |
椭圆+=1(m>0)的一个焦点为(4,0),则该椭圆的离心率为______. |
椭圆+=1的焦点为F1,F2,P为椭圆上一点,若|PF1|=2,则|PF2|=( ) |
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