已知椭圆C的对称轴为坐标轴,且短轴长为4,离心率为32.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设椭圆C的焦点在y轴上,斜率为1的直线l与C相交于A,B两点,且|AB|=1
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已知椭圆C的对称轴为坐标轴,且短轴长为4,离心率为32.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设椭圆C的焦点在y轴上,斜率为1的直线l与C相交于A,B两点,且|AB|=1
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆C的对称轴为坐标轴,且短轴长为4,离心率为
3
2
.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设椭圆C的焦点在y轴上,斜率为1的直线l与C相交于A,B两点,且
|AB|=
16
5
2
,求直线l的方程.
答案
(Ⅰ)设椭圆C的长半轴长为a(a>0),短半轴长为b(b>0),
则2b=4①,
a
2
-
b
2
a
=
3
2
②.
联立①②,解得a=4,b=2.
因为椭圆C的对称轴为坐标轴,
所以椭圆C的方程为标准方程为
x
2
16
+
y
2
4
=1或
y
2
16
+
x
2
4
=1
.
(Ⅱ)设直线l的方程为y=x+m,A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),
由方程组
y=x+m
y
2
16
+
x
2
4
=1
,消去y,
得5x
2
+2mx+m
2
-16=0,
由题意,得△=(2m)
2
-20(m
2
-16)>0,
且
x
1
+
x
2
=-
2m
5
,
x
1
x
2
=
m
2
-16
5
,
因为
|AB|=
(
x
1
-
x
2
)
2
+
(
y
1
-
y
2
)
2
=
1+1
|
x
1
-
x
2
|=
2
•
(
x
1
+
x
2
)
2
-4
x
1
x
2
=
16
5
2
,
所以
(-
2m
5
)
2
-
4(
m
2
-16)
5
=(
16
5
)
2
,解得m=±2,
验证知△>0成立,
所以直线l的方程为x-y+2=0或x-y-2=0.
举一反三
若椭圆
x
2
m+4
+
y
2
9
=1
的一条准线方程为
y=-
9
2
,求m的值.
题型:不详
难度:
|
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设F
1
,F
2
是椭圆
x
2
9
+
y
2
4
=1
的两个焦点,P是椭圆上一点,若△PF
1
F
2
是直角三角形,且|PF
1
|>|PF
2
|,则
|P
F
1
|
|P
F
2
|
的值为( )
A.2
B.
7
2
C.
5
4
D.2或
7
2
题型:不详
难度:
|
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设P为椭圆
x
2
25
+
y
2
12
=1
上的一点,F
1
,F
2
是该双曲线的两个焦点,若|PF
1
|:|PF
2
|=3:2,则△PF
1
F
2
的面积为______.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的左、右焦点分别为F
1
,F
2
,P是椭圆上任意一点,求|PF
1
|•|PF
2
|的最大值.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆x
2
+ky
2
=3k(k>0)的一个焦点与抛物线y
2
=12x的焦点重合,则该椭圆的离心率是( )
A.
3
2
B.
2
2
C.
6
3
D.
2
3
3
题型:不详
难度:
|
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