①△PF1F2面积S=|F1F2|•|y|=|y|,所以当|y|取最大值时,△PF1F2面积最大,所以点P为椭圆短轴端点时,|y|取最大值,此时y=±1,即△PF1F2面积的最大值S=,故①错误; ②∵P,Q在椭圆上,F1、F2为椭圆左、右焦点 ∴△PF1Q的周长为2a+2a=4a, ∵a=2 ∴△PF1Q的周长为8, 故②正确; ③斜率存在时,设P(x1,y1),Q(x2,y2),直线方程为:y=k(x-) 代入椭圆方程+y2=1得:(1+4k2)x2-8k2x+12k2-4=0 ∴x1+x2=,x1x2= 根据椭圆的第二定义可得:=,= ∴|PF2|=a-ex1,|QF2|=a-ex2 ∴=+= + =2a-e(x1+x2) | (a-ex1)(a-ex2) | =2a-e(x1+x2) | a2-ae(x1+x2)+e2x1x2 |
∵a=2,e(x1+x2)=×=,ae(x1+x2)=,e2x1x2=×= ∴=4 当斜率不存在时,|PF2|=|QF2|=,∴=4,故③正确;
④∵定点A(,)在椭圆+y2=1的内部,点P(x,y)为椭圆+y2=1上一点, ∴||+||=||+(2a-||)=2a+(||-||) 当且仅当P、A、F1三点共线时,||-||取得最小与最大,||+||取得最小与最大. ∵A(,),F1(-,0) ∴|AF1|= ∴||+||的取值范围为[4-,4+],故④正确 故答案为:②③④ |