已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点为F1、F2,点P为椭圆上一点,△F1PF2的重心、内心分别为G、I,若IG=λ(1,0)(λ≠0),则椭

已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点为F1、F2,点P为椭圆上一点,△F1PF2的重心、内心分别为G、I,若IG=λ(1,0)(λ≠0),则椭

题型:不详难度:来源:
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左右焦点为F1、F2,点P为椭圆上一点,△F1PF2的重心、内心分别为G、I,若


IG
=λ(1,0)(λ≠0)
,则椭圆的离心率e等于(  )
A.
1
2
B.


2
2
C.
1
4
D.


5
-1
2
答案
设P(x0,y0),∵G为△F1PF2的重心,
∴G点坐标为 G(
x0
3
y0
3
),


IG
=λ(1,0)(λ≠0)
,∴IGx轴,
∴I的纵坐标为
y0
3

在焦点△F1PF2中,|PF1|+|PF2|=2a,|F1F2|=2c
SF1PF2=
1
2
•|F1F2|•|y0|
又∵I为△F1PF2的内心,∴I的纵坐标
y0
3
即为内切圆半径,
内心I把△F1PF2分为三个底分别为△F1PF2的三边,高为内切圆半径的小三角形
SF1PF2=
1
2
(|PF1|+|F1F2|+|PF2|)|
y0
3
|
1
2
•|F1F2|•|y0|=
1
2
(|PF1|+|F1F2|+|PF2|)|
y0
3
|
1
2
×2c•|y0|=
1
2
(2a+2c)|
y0
3
|,
∴2c=a,
∴椭圆C的离心率e=
c
a
=
1
2

故选A
举一反三
设椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为l,若在椭圆上存在点P,使得当PQ⊥l于点Q时,四边形PQF1F2为平行四边形,则此椭圆的离心率e的取值范围是______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知M(2,1),N(-1,2),在下列方程的曲线上,存在点P满足|MP|=|NP|的曲线是(  )
A.3x-y+1=0B.x2+y2-4x+3=0
C.
x2
2
+y2=1
D.
x2
2
-y2=1
题型:丰台区一模难度:| 查看答案
已知点P是椭圆
y2
5
+
x2
4
=1上的一点,F1F2是焦点
,且∠F1PF2=30°,求△F1PF2的面积.
题型:不详难度:| 查看答案
已知A,B,F分别是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的上、下顶点和右焦点,直线AF与椭圆的右准线交于点M,若直线MBx轴,则该椭圆的离心率e=______.
题型:盐城三模难度:| 查看答案
已知椭圆具有性质:若A,B是椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0且a,b为常数)上关于原点对称的两点,点P是椭圆上的任意一点,若直线PA和PB的斜率都存在,并分别记为kPA,kPB,那么kPA与kPB之积是与点P位置无关的定值-
b2
a2
.试对双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0且a,b为常数)写出类似的性质,并加以证明.
题型:不详难度:| 查看答案
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