已知椭圆具有性质:若A,B是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0且a,b为常数)上关于原点对称的两点,点P是椭圆上的任意一点,若直线PA和PB的斜率都存在

已知椭圆具有性质:若A,B是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0且a,b为常数)上关于原点对称的两点,点P是椭圆上的任意一点,若直线PA和PB的斜率都存在

题型:不详难度:来源:
已知椭圆具有性质:若A,B是椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0且a,b为常数)上关于原点对称的两点,点P是椭圆上的任意一点,若直线PA和PB的斜率都存在,并分别记为kPA,kPB,那么kPA与kPB之积是与点P位置无关的定值-
b2
a2
.试对双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0且a,b为常数)写出类似的性质,并加以证明.
答案
双曲线类似的性质为:
若A,B是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0
且a,b为常数)上关于原点对称的两点,点P是双曲线上的任意一点,若直线PA和PB的斜率都存在,并分别记为kPA,kPB,那么kPA与kPB之积是与点P位置无关的定值
b2
a2

证明:设P(x0,y0),A(x1,y1),则B(-x1,-y1),
x20
a2
-
y20
b2
=1
①,
x21
a2
-
y21
b2
=1
②,
两式相减得:b2(
x20
-
x21
)-a2(
y20
-
y21
)=0

kPAkPB=
y0-y1
x0-x1
y0+y1
x0+x1
=
y20
-
y21
x20
-
x21
=
b2
a2

kPAkPB=
b2
a2
,是与点P位置无关的定值.
举一反三
椭圆
x2
25
+
y2
16
=1
的焦点坐标为(  )
A.(±3,0)B.(±4,0)C.(0,±3)D.(0,±4)
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点P是椭圆
x2
16
+
y2
9
=1
上一点,F1、F2是其焦点,若∠F1PF2=90°,△F1PF2面积为______.
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设F1、F2为曲线C1
x2
6
+
y2
2
=1的焦点,P是曲线C2
x2
3
-y2=1与C1的一个交点,则△PF1F2的面积为______.
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已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率等于______.
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若椭圆
x2
2
+
y2
m
=1
的离心率为
1
2
,则m=______.
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