若点P在以F1,F2为焦点的椭圆上,PF2⊥F1F2,tan∠PF1F2=34,则椭圆的离心率为______.

若点P在以F1,F2为焦点的椭圆上,PF2⊥F1F2,tan∠PF1F2=34,则椭圆的离心率为______.

题型:不详难度:来源:
若点P在以F1,F2为焦点的椭圆上,PF2⊥F1F2tan∠PF1F2=
3
4
,则椭圆的离心率为______.
答案
∵PF2⊥F1F2tan∠PF1F2=
3
4

PF2
F1F2
=
3
4
,结合F1F2=2c为焦距,可得PF2=
3
2
c
因此,根据勾股定理可得PF1=


PF22+F1F12
=
5
2
c
∴根据椭圆的定义,得椭圆的长轴2a=PF1+PF2=
3
2
c+
5
2
c=4c
由此可得椭圆的离心率为e=
c
a
=
2c
2a
=
2c
4c
=
1
2

故答案为:
1
2
举一反三
设O为坐标原点,F1,F2是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的焦点,若在椭圆上存在点P,满足∠F1PF2=60°,|OP|=


3
2
a
,则该椭圆的离心率为(  )
A.
1
2
B.


2
2
C.
1
3
D.


3
2
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(文)椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1
上的点P到它的两个焦点F1、F2的距离之比|PF1|:|PF2|=2:


3
,且∠PF1F2=α(0<α<
π
2
)
,则α的最大值为(  )
A.
π
6
B.
π
4
C.
π
3
D.arccos
2


3
3
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已知在平面直角坐标系xOy中,圆心在第二象限、半径为2


2
的圆C与直线y=x相切于坐标原点O.椭圆
x2
a2
+
y2
9
=1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.
(1)求圆C的方程;
(2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q,使A到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长,若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的四个顶点为A、B、C、D,若四边形ABCD的内切圆恰好过椭圆的焦点,则椭圆的离心率等于(  )
A.


2
2
B.


5
+1
2
C.


5
-1
2
D.
3-


5
2
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设F1,F2为椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的焦点,过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A,B两点,若△ABF2为锐角三角形,则该椭圆离心率e的取值范围是 ______.
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