椭圆M：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆M上任一点，且PF1•PF2的最大值的取值范围是[c2，3c2]，其中c=a2

题型：重庆一模难度：来源：

椭圆M：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，P为椭圆M上任一点，且

PF1

•

PF2

的最大值的取值范围是[c²，3c²]，其中c=

a2-b2

．则椭圆M的离心率e的取值范围是（　　）

A．[ 1 4 ，  1 2 ]

B．[ 1 2 ，  2 2 ]

C．[ 2 2 ， 1)

D．[ 1 2 ， 1)

答案

由题意可知F₁（-c，0），F₂（c，0），设点P为（x，y）
∵

x2

a2

+

y2

b2

=1∴x2=

a2 (b2-y2)

b2

∴

PF1

=(-c-x，-y)，

PF2

=(c-x，-y)
∴

PF1

•PF2

=x²-c²+y²=

a2 (b2-y2)

b2

-c²+y²
=a2-c2-

c2y2

b2

当y=0时

PF1

•PF2

取到最大值a²-c²，即c²≤a²-c²≤3c²，
∴

2

c≤a≤2c，
∴

1

2

≤e≤

2

2

．故椭圆m的离心率e的取值范围 [

1

2

，

2

2

]．
故选B．