已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1 （a＞b＞0）与双曲线C2：x2-y24=1 有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C

题型：浙江难度：来源：

已知椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1 （a＞b＞0）与双曲线C₂：x²-

y2

4

=1 有公共的焦点，C₂的一条渐近线与以C₁的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C₁恰好将线段AB三等分，则（　　）

A．a2= 13 2

B．a2=3

C．b2= 1 2

D．b2=2

答案

由题意，C₂的焦点为（±

5

，0），一条渐近线方程为y=2x，根据对称性易AB为圆的直径且AB=2a
∴C₁的半焦距c=

5

，于是得a²-b²=5   ①
设C₁与y=2x在第一象限的交点的坐标为（x，2x），代入C₁的方程得：x2=

a2b2

b2+4a2

②，
由对称性知直线y=2x被C₁截得的弦长=2

5

x，
由题得：2

5

x=

2a

3

，所以x=

a

3 5

    ③
由②③得a²=11b²  ④
由①④得a²=5.5，b²=0.5  
故选C