已知F1、F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,点Q(-2,1)在椭圆上,线段QF2与y轴的交点M满足QM+F2M=0;(1)求椭圆C
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已知F1、F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,点Q(-2,1)在椭圆上,线段QF2与y轴的交点M满足QM+F2M=0;(1)求椭圆C
题型:不详
难度:
来源:
已知F
1
、F
2
是椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)的左、右焦点,点Q(-
2
,1)在椭圆上,线段QF
2
与y轴的交点M满足
QM
+
F2M
=0;
(1)求椭圆C的方程;
(2)设P为椭圆C上一点,且∠F
1
PF
2
=
π
3
,求△F
1
PF
2
的面积.
答案
(1)∵点Q(-
2
,1)在椭圆上,∴
2
a
2
+
1
b
2
=1
.
∵线段QF
2
与y轴的交点M满足
QM
+
F
2
M
=
0
,
∴M为线段QF
2
的中点,
∴
-
2
+c=0
,
联立
-
2
+c=0
a
2
=
b
2
+
c
2
2
a
2
+
1
b
2
=1
,解得
a
2
=4
b
2
=
c
2
=2
.
∴椭圆C的方程为
x
2
4
+
y
2
2
=1
.
(2)设|PF
1
|=m,|PF
2
|=n.
利用椭圆的定义和余弦定理可得
m+n=4
m
2
+
n
2
-2mncos
π
3
=(2
2
)
2
,
解得
mn=
8
3
.
∴
S
△
=
1
2
mnsin
π
3
=
1
2
×
8
3
×
3
2
=
2
3
3
.
举一反三
已知椭圆
C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的离心率为
2
2
,其左、右焦点分别为F
1
、F
2
,点P是坐标平面内一点,且
|OP|=
7
2
,
P
F
1
•
P
F
2
=
3
4
(O为坐标原点).
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点
S(0,-
1
3
)
且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点,在y轴上是否存在定点M,使以AB为直径的圆恒过这个点?若存在,求出M的坐标和△MAB面积的最大值;若不存在,说明理由.
题型:聊城一模
难度:
|
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已知点
M(
3
,0)
,椭圆
x
2
4
+
y
2
=1
与直线
y=k(x+
3
)
交于点A、B,则△ABM的周长为______.
题型:不详
难度:
|
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椭圆
x
2
25
+
y
2
9
=1
上到两个焦点距离之积最小的点的坐标是______.
题型:不详
难度:
|
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以椭圆
x
2
+
y
2
5
=1
中心为顶点,右顶点为焦点的抛物线的标准方程为______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
若方
x
2
2
+
y
2
a
=1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数a的取值范围是______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
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