已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的两个焦点为F1，F2，P为椭圆上一点，∠F1PF2=60°（1）求椭圆离心率的取值范围；（2）求△F1PF2的面积

题型：不详难度：来源：

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的两个焦点为F₁，F₂，P为椭圆上一点，∠F₁PF₂=60°
（1）求椭圆离心率的取值范围；
（2）求△F₁PF₂的面积仅与椭圆的短轴长有关．

答案

（1）设|PF₁|=m，|PF₂|=n
则根据椭圆的定义，得m+n=2a，…．①
又∵△F₁PF₂中，∠F₁PF₂=60°
∴由余弦定理，得m²+n²-mn=4c²…．②
①②联解，得mn=

4(a2-c2)

3

又∵mn≤(

m+n

2

)2=a2，
∴

4(a2-c2)

3

≤a²，化简整理，得a²＜4c²，解之得

1

2

≤e＜1
即椭圆离心率的取值范围是[

1

2

，1）
（2）由（1），得mn=

4(a2-c2)

3

=

4

3

b²
∴

S

△F1PF2

=

1

2

mnsin60°=

3

3

b2
面积表达式中的字母只含有b，可得△F₁PF₂的面积仅与椭圆的短轴长有关．