椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)与直线x+y=1交于P、Q两点,且OP⊥OQ,其中O为坐标原点.(1)求1a2+1b2的值;(2)若椭圆的离心率e满足3
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椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)与直线x+y=1交于P、Q两点,且OP⊥OQ,其中O为坐标原点.(1)求1a2+1b2的值;(2)若椭圆的离心率e满足3
题型:不详
难度:
来源:
椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0)与直线x+y=1交于P、Q两点,且OP⊥OQ,其中O为坐标原点.
(1)求
1
a
2
+
1
b
2
的值;
(2)若椭圆的离心率e满足
3
3
≤e≤
2
2
,求椭圆长轴的取值范围.
答案
设P(x
1
,y
1
),Q(x
2
,y
2
)由OP⊥OQ 可得 x
1
x
2
+y
1
y
2
=0(2分)
∵y
1
=1-x
1
,y
2
=1-x
2
∴2x
1
x
2
-(x
1
+x
2
)+1=0①又将y=1-x代入
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
可得(a
2
+b
2
)x
2
-2a
2
x+a
2
(1-b
2
)=0
∵△>0∴
x
1
+
x
2
=
2
a
2
a
2
+
b
2
,
x
1
x
2
=
a
2
(1-
b
2
)
a
2
+
b
2
(4分)
代入①化简得
1
a
2
+
1
b
2
=2
.(6分)
(2)∵
e
2
=
c
2
a
2
=1-
b
2
a
2
∴
1
3
≤1-
b
2
a
2
≤
1
2
∴
1
2
≤
b
2
a
2
≤
2
3
(8分)
又由(1)知
b
2
=
a
2
2
a
2
-1
(9分)
∴
1
2
≤
1
2
a
2
-1
≤
2
3
∴
5
2
≤a≤
6
2
,(11分)
∴长轴 2a∈[
5
,
6
].(12分)
举一反三
已知A、B是椭圆
(a>b>0)
长轴的两个端点,M,N是椭圆上关于x轴对称的两点,直线AM,BN的斜率分别为k
1
,k
2
,且k
1
k
2
≠0.若|k
1
|+|k
2
|的最小值为1,则椭圆的离心率( )
A.
B.
C.
D.
题型:绍兴模拟
难度:
|
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如图,正六边形ABCDEF的两个顶点A、D为椭圆的两个焦点,其余4个顶点在椭圆上,则该椭圆的离心率为______.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的左右焦点分别为F
1
,F
2
,离心率为e,若椭圆上存在点P,使得
P
F
1
P
F
2
=e
,则该离心率e的取值范围是______.
题型:不详
难度:
|
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设F
1
,F
2
分别是椭圆
E:
x
2
+
y
2
b
2
=1(0<b<1)
的左、右焦点,过F
1
的直线l与E相交于A,B两点,且|AF
2
|,|AB|,|BF
2
|成等差数列,则|AB|的长为______.
题型:不详
难度:
|
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椭圆
上一点P到两焦点的距离之积为m,当m取最大值时,P点坐标为( )
A.(5,0),(-5,0)
B.(
,
),(
,-
)
C.(
,
),(-
,
)
D.(0,-3),(0,3)
题型:不详
难度:
|
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