已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为33,它的上顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,直线AF1,AF2分别交椭圆于点B,C.(1)求证直

已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为33,它的上顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,直线AF1,AF2分别交椭圆于点B,C.(1)求证直

题型:不详难度:来源:
已知椭圆E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率为


3
3
,它的上顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,直线AF1,AF2分别交椭圆于点B,C.
(1)求证直线BO平分线段AC;
(2)设点P(m,n)(m,n为常数)在直线BO上且在椭圆外,过P的动直线l与椭圆交于两个不同点M,N,在线段MN上取点Q,满足
MP
NP
=
MQ
QN
,试证明点Q恒在一定直线上.魔方格
答案
证明:(1)由题意,e=
c
a
=


3
3
,则a=


3
c
,b2=a2-c2=2c2
故椭圆方程为
x2
3c2
+
y2
2c2
=1

即2x2+3y2-6c2=0,其中A(0,


2
c)
,F1(-c,0),
∴直线AF1的斜率为


2
,此时直线AF1的方程为y=


2
(x+c)

联立





2x2+3y2-6c2=0
y=


2
(x+c)
得2x2+3cx=0,解得x1=0(舍)和x2=-
3
2
c
,即B(-
3
2
c,-


2
2
c)

由对称性知C(
3
2
c,-


2
2
c)

直线BO的方程为y=


2
3
x

线段AC的中点坐标为(
3
4
c,


2
c
4
)

AC的中点坐标满足直线BO的方程,即直线BO平分线段AC.
(2)设过P的直线l与椭圆交于两个不同点的坐标为M(x1,y1),N(x2,y2),点Q(x,y),
2
x21
+3
y21
=6c2
2
x22
+3
y22
=6c2

MP
NP
=
MQ
QN
=λ,则


MP


NP


MQ


QN

求得m=
x1x2
1-λ
x=
x1x2
1+λ
n=
y1y2
1-λ
y=
y1y2
1+λ

mx=
x21
-λ2
x22
1-λ2
ny=
y21
-λ2
y22
1-λ2

∴2mx+3ny=
2
x21
-2λ2
x22
+3
y21
-3λ2
y22
1-λ2
=
2
x21
+3
y21
-λ2(2
x22
+3
y22
)
1-λ2
=
6c2-6c2λ2
1-λ2
=6c2
由于m,n,C为常数,所以点Q恒在直线2mx+3ny-6c2=0上.
举一反三
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),若椭圆上存在一点P使
a
sin∠PF1F2
=
c
sin∠PF2F1
,则该椭圆的离心率的取值范围为______.
题型:重庆难度:| 查看答案
在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为
1
2
.过F1的直线交椭圆C于A,B两点,且△ABF2的周长为8.过定点M(0,3)的直线l1与椭圆C交于G,H两点(点G在点M,H之间).
(Ⅰ) 求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线l1的斜率k>0,在x轴上是否存在点P(m,0),使得以PG、PH为邻边的平行四边形为菱形.如果存在,求出m的取值范围;如果不存在,请说明理由.
题型:延庆县一模难度:| 查看答案
已知椭圆C:(a>b>0)的左焦点F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连结AF,BF,若|AB|=10,|AF|=6,cos∠ABF=,则C的离心率为(   )
题型:辽宁难度:| 查看答案
题型:福建难度:| 查看答案
题型:不详难度:| 查看答案
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A.B.C.D.
椭圆Γ:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,焦距为2c,若直线y=


3
(x+c)
与椭圆Γ的一个交点满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于______.
已知双曲线C:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为3,直线y=2与C的两个交点间的距离为


6

(I)求a,b;
(II)设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点,且|AF1|=|BF1|,证明:|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列.