椭圆Γ：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y=3(x+c)与椭圆Γ的一个交点满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则

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椭圆Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，焦距为2c，若直线y=

3

(x+c)与椭圆Γ的一个交点满足∠MF₁F₂=2∠MF₂F₁，则该椭圆的离心率等于______．

答案

如图所示，


由直线y=

3

(x+c)可知倾斜角α与斜率

3

有关系

3

=tanα，∴α=60°．
又椭圆Γ的一个交点满足∠MF₁F₂=2∠MF₂F₁，∴∠MF2F1=30°，∴∠F1MF2=90°．
设|MF₂|=m，|MF₁|=n，则

m2+n2=(2c)2 m+n=2a m= 3 n

，解得

c

a

=

3

-1．
∴该椭圆的离心率e=

3

-1．
故答案为

3

-1．