已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),若椭圆上存在一点P使asin∠PF1F2=csin∠PF2F1,
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已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),若椭圆上存在一点P使asin∠PF1F2=csin∠PF2F1,
题型:重庆
难度:
来源:
已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的左、右焦点分别为F
1
(-c,0),F
2
(c,0),若椭圆上存在一点P使
a
sin∠P
F
1
F
2
=
c
sin∠P
F
2
F
1
,则该椭圆的离心率的取值范围为______.
答案
在△PF
1
F
2
中,
由正弦定理得:
|P
F
2
|
sin∠P
F
F
2
=
|P
F
1
|
sin∠P
F
2
F
1
则由已知得:
a
|
P
F
2
|
=
c
|P
1
F
1
|
,
即:a|PF
1
|=c|PF
2
|
设点(x
0
,y
0
)由焦点半径公式,
得:|PF
1
|=a+ex
0
,|PF
2
|=a-ex
0
则a(a+ex
0
)=c(a-ex
0
)
解得:
x
0
=
a(c-a)
e(c+a)
=
a(e-1)
e(e+1)
由椭圆的几何性质知:x
0
>-a则
a(e-1)
e(e+1)
>-a
,
整理得e
2
+2e-1>0,解得:
e<-
2
-1
或
e>
2
-1
,又e∈(0,1),
故椭圆的离心率:
e∈(
2
-1,1)
,
故答案为:
(
2
-1,1)
.
举一反三
在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F
1
,F
2
在x轴上,离心率为
1
2
.过F
1
的直线交椭圆C于A,B两点,且△ABF
2
的周长为8.过定点M(0,3)的直线l
1
与椭圆C交于G,H两点(点G在点M,H之间).
(Ⅰ) 求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线l
1
的斜率k>0,在x轴上是否存在点P(m,0),使得以PG、PH为邻边的平行四边形为菱形.如果存在,求出m的取值范围;如果不存在,请说明理由.
题型:延庆县一模
难度:
|
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已知椭圆C:
(a>b>0)
的左焦点F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连结AF,BF,若|AB|=10,|AF|=6,
cos∠ABF=
,则C的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
题型:辽宁
难度:
|
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椭圆Γ:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)的左右焦点分别为F
1
,F
2
,焦距为2c,若直线y=
3
(x+c)
与椭圆Γ的一个交点满足∠MF
1
F
2
=2∠MF
2
F
1
,则该椭圆的离心率等于______.
题型:福建
难度:
|
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已知双曲线C:
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F
1
,F
2
,离心率为3,直线y=2与C的两个交点间的距离为
6
.
(I)求a,b;
(II)设过F
2
的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点,且|AF
1
|=|BF
1
|,证明:|AF
2
|、|AB|、|BF
2
|成等比数列.
题型:不详
难度:
|
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椭圆短轴长是2,长轴长是短轴的2倍,则椭圆中心到其准线距离是( )
A.
B.
C.
D.
题型:北京
难度:
|
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