(Ⅰ)设椭圆的方程为+=1(a>b>0),离心率e==, △ABF2的周长为|AF1|+|AF2|+|AF1|+|AF2|=4a=8, 解得a=2,c=1,则b2=a2-c2=3, 所以椭圆的方程为+=1. (Ⅱ)直线l1的方程为y=kx+3(k>0), 由,消去y并整理得(3+4k2)x2+24kx+24=0(*), △=(24k)2-4×24×(3+4k2)>0,解得k>, 设椭圆的弦GH的中点为N(x0,y0), 则“在x轴上是否存在点P(m,0),使得以PG、PH为邻边的平行四边形为菱形.”等价于“在x轴上是否存在点P(m,0),使得PN⊥l1”. 设G(x1,y1),H(x2,y2),由韦达定理得,x1+x2=-, 所以x0==-,∴y0=kx0+3═, ∴N(-,),kPN=-, 所以,-•k=-1,解得m=-(k>). m′(k)=>>0, 所以,函数m=-(k>)在定义域(,+∞)单调递增,m()=-, 所以满足条件的点P(m,0)存在,m的取值范围为(-,+∞). |