已知:如图,圆O:x2+y2=2交x轴于A,B两点,曲线C是以AB为长轴,离心率为的椭圆,其左焦点为F,若P是圆O上一点,连接PF,过原点O作直线PF的垂线交椭
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已知:如图,圆O:x2+y2=2交x轴于A,B两点,曲线C是以AB为长轴,离心率为的椭圆,其左焦点为F,若P是圆O上一点,连接PF,过原点O作直线PF的垂线交椭
题型:江苏省期末题
难度:
来源:
已知:如图,圆O:x
2
+y
2
=2交x轴于A,B两点,曲线C是以AB为长轴,离心率为
的椭圆,其左焦点为F,若P是圆O上一点,连接PF,过原点O作直线PF的垂线交椭圆的左准线l于点Q.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若点P的坐标为(1,1),①求线段PQ的长;②求证:直线PQ与圆O相切.
答案
(1)解:设椭圆C的标准方程为
因为圆O:x
2
+y
2
=2交x轴于A,B两点,
所以|AB|=2
∵曲线C是以AB为长轴,
∴
,
∴
∵椭圆的离心率为
,
∴c=1,
∴
∴此椭圆的标准方程为
(2)①解:由(1)知椭圆的左焦点F(﹣1,0),而点P(1,1)
所以直线PF的方程为
,即
直线QO的方程为y=﹣2x,而椭圆的左准线方程为x=﹣2,
所以点Q的坐标为(﹣2,4)
因此|PQ|=3
②证明:直线PQ的方程为:y=﹣(x﹣1)+1,即x+y﹣2=0
而点O到直线PQ的距离为d=
所以直线PQ与圆O相切
举一反三
若点O和点F分别为椭圆
的中心和左焦点,点P为椭圆上任意一点,则
的最小值为
[ ]
A.
B.3
C.8
D.15
题型:山东省期末题
难度:
|
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设圆锥曲线C的两个焦点分别为
,
,若曲线C上存在点P满足|P
|:|
|:|P
|=
6:5:4,则曲线C的离心率等于( )
题型:江苏省月考题
难度:
|
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直线x﹣2y+2=0经过椭圆
的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的离心率为
[ ]
A.
B.
C.
D.
题型:黑龙江省期末题
难度:
|
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已知椭圆
的一个焦点为
,若椭圆上存在一个点
P
,满足以椭圆短轴为直径的圆与线段
P
相切于该线段的中点,则椭圆的离心率为
[ ]
A.
B.
C.
D.
题型:重庆市月考题
难度:
|
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已知椭圆
的离心率
,则实数
的值为
[ ]
A.3
B.
C. 3或
D.
或
题型:辽宁省期中题
难度:
|
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