有一椭圆形溜冰场,长轴长100 m,短轴长60 m,现要在这个溜冰场上划定一个各顶点都在溜冰场边界上的矩形区域,且使这个区域的面积最大,应把这个矩形的顶点定位在
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有一椭圆形溜冰场,长轴长100 m,短轴长60 m,现要在这个溜冰场上划定一个各顶点都在溜冰场边界上的矩形区域,且使这个区域的面积最大,应把这个矩形的顶点定位在?这时矩形的周长是多少? |
答案
解:分别以椭圆的长轴、短轴各自所在的直线为x 轴和y 轴,建立如图所示的平面直角坐标系xOy ,设矩形ABCD 的各顶点都在椭圆上. 因为矩形的各顶点都在椭圆上,而矩形是中心对称图形,又是以过对称中心且垂直其一边的直线为对称轴的轴对称图形,所以矩形ABCD关于原点O及x轴,y轴都对称, 已知椭圆的长轴长2a=100 m,短轴长2b=60 m, 则椭圆的方程为 设顶点A的坐标为(x0,y0),x0>0,y0>0, 则,得 根据矩形ABCD的对称性,可知它的面积S=4x0y0. 由于 ∴当时,取得最大值,此时S也取得最大值. 这时 矩形ABCD的周长为4(x0+y0)=(m). 因此,在椭圆形溜冰场的两侧分别画一条与短轴平行且与短轴相距m(约35. 36m)的直线,这两条直线与椭圆的交点就是所划定的矩形区域的顶点;这个矩形区域的周长为m(约226.27 m).
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举一反三
一个椭圆的半焦距为2 ,离心率,即么它的短轴长是 |
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A.3 B. C. D.6 |
椭圆满足这样的光学性质:从椭圆的一个焦点发射光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点,现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘,满足方程:,点A、B是它的两个焦点,当静止的小球放在点A处,从点A沿直线出发,经椭圆壁(非椭圆长轴端点)反弹后,再回到点A时,小球经过的最短路程是 |
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A.20 B.18 C.16 D.以上均有可能 |
椭圆的离心率为,则m= 。 |
已知椭圆内有一点P(1,-1),F是椭圆的右焦点,在椭圆上有一点M,使|MP|+2|MF|的值最小,则M的坐标为 |
若椭圆的对称轴在坐标轴上,两焦点与两短轴的端点恰好是正方形的四个顶点,且焦点到同侧长轴端点距离为-1. (1)求椭圆的方程; (2)求椭圆离心率. |
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